Упр.18.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Функция имеет разрыв в точке х=—3; имеет минимум в точке х=—5 и минимум в точке х=0; не ограничена.
б) Функция определена на промежутках (—?; 1) и (1; +?); имеет вертикальную асимптоту x=1 и горизонтальную асимптоту y=2 при х>?; имеет одну точку максимума и одну точку минимума; ограничена сверху и не ограничена снизу. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) y=2cos(x), [-?; ?/2]; г) y=3sin(x), [-?/2; ?];
б) y=0,4sin(x), [-?/4; ?/2]; д) y=0,8cos(x), [-3?/2; ?/4];
в) y=2tg(x), [-?/4; ?/3]; е) y=-3tg(x), [-?/6; ?/4].

1. а) Требуется функция с разрывом при $$x=-3$$, минимумами при $$x=-5$$ и $$x=0$$, при этом функция не ограничена.

   Подойдёт, например, график с разрывом в точке $$x=-3$$ и двумя «впадинами» в точках $$x=-5$$ и $$x=0$$, уходящий вверх и вниз без границ. Тогда:

   $$x=-3$$ — точка разрыва;

   $$x_{\min}=-5,\quad x_{\min}=0;$$

   наибольшего и наименьшего значений нет, так как функция не ограничена.

2. б) Функция определена на промежутках $$(-\infty;1)$$ и $$ (1;+\infty)$$, имеет вертикальную асимптоту $$x=1$$ и горизонтальную асимптоту $$y=2$$ при $$x\to +\infty$$, одну точку максимума и одну точку минимума, ограничена сверху и не ограничена снизу.

   Подойдёт, например, график с разрывом при $$x=1$$, стремящийся к прямой $$y=2$$ справа, с одной вершиной и одной впадиной. Тогда:

   $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty);$$

   $$x=1$$ — вертикальная асимптота;

   $$y=2$$ — горизонтальная асимптота;

   одна точка максимума и одна точка минимума;

   функция ограничена сверху и не ограничена снизу.

3. а) $$y=2\cos x,\quad \left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$

   Проверим значения в концах отрезка и в критической точке:

   $$y’=-2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

   На отрезке подходит $$x=0$$.

   $$y(-\pi)=2\cos(-\pi)=-2,$$
   $$y(0)=2\cos 0=2,$$
   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

   Наименьшее значение: $$-2$$, наибольшее значение: $$2$$.

4. б) $$y=0{,}4\sin x,\quad \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$y’=0{,}4\cos x=0 \Rightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   На отрезке подходит $$x=\frac{\pi}{2}$$.

   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0{,}4\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{5},$$
   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0{,}4\sin\frac{\pi}{2}=\frac{2}{5}.$$

   Наименьшее значение: $$-\frac{\sqrt2}{5}$$, наибольшее значение: $$\frac{2}{5}$$.

5. в) $$y=2\tg x,\quad \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{3}\right]$$

   Производная $$y’=\frac{2}{\cos^2 x}$$ не обращается в ноль, поэтому достаточно проверить концы отрезка:

   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-2,$$
   $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\tg\frac{\pi}{3}=2\sqrt3.$$

   Наименьшее значение: $$-2$$, наибольшее значение: $$2\sqrt3$$.

6. г) $$y=3\sin x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$

   $$y’=3\cos x=0 \Rightarrow \cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   На отрезке подходит $$x=\frac{\pi}{2}$$.

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=3\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-3,$$
   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\sin\frac{\pi}{2}=3,$$
   $$y(\pi)=3\sin\pi=0.$$

   Наименьшее значение: $$-3$$, наибольшее значение: $$3$$.

7. д) $$y=0{,}8\cos x,\quad \left[-\frac{3\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$

   $$y’=-0{,}8\sin x=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

   На отрезке подходит $$x=0$$.

   $$y\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=0{,}8\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{2\sqrt2}{5},$$
   $$y(0)=0{,}8\cos 0=\frac{4}{5},$$
   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=0{,}8\cos\frac{\pi}{4}=\frac{2\sqrt2}{5}.$$

   Наименьшее значение: $$-\frac{2\sqrt2}{5}$$, наибольшее значение: $$\frac{4}{5}$$.

8. е) $$y=-3\tg x,\quad \left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{4}\right]$$

   Производная $$y’=-\frac{3}{\cos^2 x}$$ не обращается в ноль, поэтому проверяем концы отрезка:

   $$y\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-3\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3,$$
   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=-3\tg\frac{\pi}{4}=-3.$$

   Наибольшее значение: $$\sqrt3$$, наименьшее значение: $$-3$$.

Ответ

а) $$x=-3$$ — разрыв; $$x_{\min}=-5$$ и $$x_{\min}=0$$; наибольшего и наименьшего значений нет.
б) $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$; $$x=1$$ — вертикальная асимптота; $$y=2$$ — горизонтальная асимптота; одна точка максимума и одна точка минимума; функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
а) $$-2$$ и $$2$$;
б) $$-\frac{\sqrt2}{5}$$ и $$\frac{2}{5}$$;
в) $$-2$$ и $$2\sqrt3$$;
г) $$-3$$ и $$3$$;
д) $$-\frac{2\sqrt2}{5}$$ и $$\frac{4}{5}$$;
е) $$-3$$ и $$\sqrt3$$.