Упр.18.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) ||x-1|-3|=3-|x-1|;
б) ||2x-3|-5|=|2x-3|-5. а) При каком значении параметра р наименьшее значение функции y=xv(x+p) равно —6v3?
б) При каком значении параметра р наибольшее значение функции y=(p-x)vx равно 10v5?

Подробный ответ

а) Решим уравнение
$$||x-1|-3|=3-|x-1|.$$
Положим $$t=|x-1|$$, тогда $$t\ge 0$$ и получаем
$$|t-3|=3-t.$$
Правая часть неотрицательна только при $$t\le 3$$. В этом случае
$$|t-3|=3-t,$$
то есть равенство верно при любом $$t$$ из промежутка $$0\le t\le 3$$.
Значит,
$$|x-1|\le 3.$$
Отсюда
$$-3\le x-1\le 3,$$
$$-2\le x\le 4.$$
б) Решим уравнение
$$||2x-3|-5|=|2x-3|-5.$$
Положим $$t=|2x-3|$$, тогда $$t\ge 0$$ и имеем
$$|t-5|=t-5.$$
Это возможно только при $$t\ge 5$$, то есть
$$|2x-3|\ge 5.$$
Решаем неравенство:
$$2x-3\le -5 \quad \text{или} \quad 2x-3\ge 5.$$
Отсюда
$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
а) $$y=x\sqrt{x+p}, \quad y_{\min}=-6\sqrt{3}.$$
Найдём точку минимума. Производная:
$$y’=\sqrt{x+p}+\frac{x}{2\sqrt{x+p}}.$$
Приравниваем к нулю:
$$\sqrt{x+p}+\frac{x}{2\sqrt{x+p}}=0.$$
Умножим на $$2\sqrt{x+p}$$:
$$2(x+p)+x=0,$$
$$3x+2p=0,$$
$$x=-\frac{2p}{3}.$$
Тогда
$$y\left(-\frac{2p}{3}\right)=-\frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{2p}{3}+p}=-6\sqrt{3}.$$
Получаем
$$-\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}=-6\sqrt{3}.$$
Возведём в квадрат:
$$\frac{4p^2}{9}\cdot \frac{p}{3}=108,$$
$$\frac{4p^3}{27}=108,$$
$$p^3=729,$$
$$p=9.$$
б) $$y=(p-x)\sqrt{x}, \quad y_{\max}=10\sqrt{5}.$$
Производная:
$$y’=-\sqrt{x}+\frac{p-x}{2\sqrt{x}}.$$
Приравниваем к нулю:
$$-\sqrt{x}+\frac{p-x}{2\sqrt{x}}=0.$$
Умножим на $$2\sqrt{x}$$:
$$-2x+p-x=0,$$
$$p-3x=0,$$
$$x=\frac{p}{3}.$$
Тогда
$$y\left(\frac{p}{3}\right)=\left(p-\frac{p}{3}\right)\sqrt{\frac{p}{3}}=10\sqrt{5}.$$
Получаем
$$\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}=10\sqrt{5}.$$
Возведём в квадрат:
$$\frac{4p^2}{9}\cdot \frac{p}{3}=500,$$
$$\frac{4p^3}{27}=500,$$
$$p^3=3375,$$
$$p=15.$$