Упр.18.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\left|\left|x-1\right|-3\right|=3-\left|x-1\right|$$; б) $$\left|\left|2x-3\right|-5\right|=\left|2x-3\right|-5$$.
2. а) При каком значении параметра $$p$$ наименьшее значение функции $$y=x\sqrt{x+p}$$ равно $$-6\sqrt{3}$$? б) При каком значении параметра $$p$$ наибольшее значение функции $$y=(p-x)\sqrt{x}$$ равно $$10\sqrt{5}$$?

1. а) Решим уравнение

   $$||x-1|-3|=3-|x-1|.$$

   Положим $$t=|x-1|$$, тогда $$t\ge 0$$ и получаем

   $$|t-3|=3-t.$$

   Правая часть неотрицательна только при $$t\le 3$$. В этом случае

   $$|t-3|=3-t,$$

   то есть равенство верно при любом $$t$$ из промежутка $$0\le t\le 3$$.

   Значит,

   $$|x-1|\le 3.$$

   Отсюда

   $$-3\le x-1\le 3,$$

   $$-2\le x\le 4.$$

2. б) Решим уравнение

   $$||2x-3|-5|=|2x-3|-5.$$

   Положим $$t=|2x-3|$$, тогда $$t\ge 0$$ и имеем

   $$|t-5|=t-5.$$

   Это возможно только при $$t\ge 5$$, то есть

   $$|2x-3|\ge 5.$$

   Решаем неравенство:

   $$2x-3\le -5 \quad \text{или} \quad 2x-3\ge 5.$$

   Отсюда

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

3. а) $$y=x\sqrt{x+p}, \quad y_{\min}=-6\sqrt{3}.$$

   Найдём точку минимума. Производная:

   $$y’=\sqrt{x+p}+\frac{x}{2\sqrt{x+p}}.$$

   Приравниваем к нулю:

   $$\sqrt{x+p}+\frac{x}{2\sqrt{x+p}}=0.$$

   Умножим на $$2\sqrt{x+p}$$:

   $$2(x+p)+x=0,$$

   $$3x+2p=0,$$

   $$x=-\frac{2p}{3}.$$

   Тогда

   $$y\left(-\frac{2p}{3}\right)=-\frac{2p}{3}\sqrt{-\frac{2p}{3}+p}=-6\sqrt{3}.$$

   Получаем

   $$-\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}=-6\sqrt{3}.$$

   Возведём в квадрат:

   $$\frac{4p^2}{9}\cdot \frac{p}{3}=108,$$

   $$\frac{4p^3}{27}=108,$$

   $$p^3=729,$$

   $$p=9.$$

4. б) $$y=(p-x)\sqrt{x}, \quad y_{\max}=10\sqrt{5}.$$

   Производная:

   $$y’=-\sqrt{x}+\frac{p-x}{2\sqrt{x}}.$$

   Приравниваем к нулю:

   $$-\sqrt{x}+\frac{p-x}{2\sqrt{x}}=0.$$

   Умножим на $$2\sqrt{x}$$:

   $$-2x+p-x=0,$$

   $$p-3x=0,$$

   $$x=\frac{p}{3}.$$

   Тогда

   $$y\left(\frac{p}{3}\right)=\left(p-\frac{p}{3}\right)\sqrt{\frac{p}{3}}=10\sqrt{5}.$$

   Получаем

   $$\frac{2p}{3}\sqrt{\frac{p}{3}}=10\sqrt{5}.$$

   Возведём в квадрат:

   $$\frac{4p^2}{9}\cdot \frac{p}{3}=500,$$

   $$\frac{4p^3}{27}=500,$$

   $$p^3=3375,$$

   $$p=15.$$

Ответ

а) $$[-2;4]$$; б) $$(-\infty;-1]\cup[4;+\infty)$$; в) $$9$$; г) $$15$$.