Упр.18.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) log_(vx/y)(y), если log_y(x)=5;
б) log_(vy/x)(vx/vy)+log_(vy/x)(1/x^(1/4)), если log_y(x)=6;
в) log_(v(xy))(vy/x^(1/4)), если log_x(y)=3;
г) 4log_(v(xy))(vx/y)+3log_(v(xy))(y^2), если log_x(y)=2.
Найдите наименьшее значение функции на заданном промежутке:
а) y=x^2-6x+5+|3-2x|, x?[0; 4];
б) y=|x^3-8|-4x, x?[-1; 2];
в) y=x^2+6x-5+|5-3x|, x?[-4; 1];
г) y=|x^3+8|-12x, x?[-1; 4].

1. а) $$\log_{\frac{\sqrt{x}}{y}} y$$, если $$\log_y x=5$$.

   $$\log_{\frac{\sqrt{x}}{y}} y=\frac{1}{\log_y \frac{\sqrt{x}}{y}}=\frac{1}{\log_y x^{1/2}-\log_y y}=\frac{1}{\frac12\log_y x-1}$$
   $$=\frac{1}{\frac12\cdot 5-1}=\frac{1}{\frac32}=\frac23.$$

2. б) $$\log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right)+\log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)$$, если $$\log_y x=6$$.

   $$\log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right)+\log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right) =\log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\cdot \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)$$
   $$=\log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{y}}\right) =\frac{\log_y x^{1/4}-\log_y y^{1/2}}{\log_y y^{1/2}-\log_y x}$$
   $$=\frac{\frac14\log_y x-\frac12\log_y y}{\frac12\log_y y-\log_y x} =\frac{\frac14\cdot 6-\frac12\cdot 1}{\frac12\cdot 1-6} =\frac{1}{-\frac{11}{2}}=-\frac{2}{11}.$$

3. в) $$\log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}}\right)$$, если $$\log_x y=3$$.

   $$\log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}}\right) =\frac{\log_x \frac{\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}}}{\log_x \sqrt{xy}}$$
   $$=\frac{\frac12\log_x y-\frac14\log_x x}{\frac12\log_x x+\frac12\log_x y} =\frac{\frac12\cdot 3-\frac14\cdot 1}{\frac12\cdot 1+\frac12\cdot 3} =\frac{\frac54}{2}=\frac58.$$

4. г) $$4\log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)+3\log_{\sqrt{xy}} y^2$$, если $$\log_x y=2$$.

   $$4\log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)+3\log_{\sqrt{xy}} y^2 =\log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{x^2}{y^4}\right)+\log_{\sqrt{xy}} y^6$$
   $$=\log_{\sqrt{xy}}(x^2y^2) =\frac{\log_x(x^2y^2)}{\log_x\sqrt{xy}}$$
   $$=\frac{2\log_x x+2\log_x y}{\frac12\log_x x+\frac12\log_x y} =\frac{2\cdot 1+2\cdot 2}{\frac12\cdot 1+\frac12\cdot 2} =\frac{6}{\frac32}=4.$$

5. а) $$y=x^2-6x+5+|3-2x|,\quad x\in[0;4].$$

   Если $$x\le \frac32$$, то $$|3-2x|=3-2x$$ и
   $$y=x^2-8x+8.$$
   Тогда $$y'(x)=2x-8$$, на отрезке $$[0;\frac32]$$ минимум достигается на концах:
   $$y(0)=8,\quad y\!\left(\frac32\right)=-\frac74.$$

   Если $$x>\frac32$$, то $$|3-2x|=2x-3$$ и
   $$y=x^2-4x+2.$$
   Тогда $$y'(x)=2x-4=0$$, откуда $$x=2$$.
   Проверяем значения:
   $$y(2)=-2,\quad y(4)=2.$$

   Наименьшее значение: $$-2$$.

6. б) $$y=|x^3-8|-4x,\quad x\in[-1;2].$$

   На отрезке $$[-1;2]$$ имеем $$x^3-8\le 0$$, значит
   $$y=8-x^3-4x.$$
   Тогда
   $$y'(x)=-3x^2-4<0,$$ то есть функция убывает на всём отрезке.

   Следовательно, наименьшее значение достигается при $$x=2$$:
   $$y(2)=|8-8|-8=-8.$$

7. в) $$y=x^2+6x-5+|5-3x|,\quad x\in[-4;1].$$

   Если $$x\le \frac53$$, то $$|5-3x|=5-3x$$ и
   $$y=x^2+3x.$$
   Тогда $$y'(x)=2x+3=0$$, откуда $$x=-\frac32.$$

   Проверяем значения:
   $$y(-4)=4,\quad y\!\left(-\frac32\right)=-\frac94,\quad y(1)=4.$$

   Наименьшее значение: $$-\frac94$$.

8. г) $$y=|x^3+8|-12x,\quad x\in[-1;4].$$

   На отрезке $$[-1;4]$$ имеем $$x^3+8\ge 0$$, значит
   $$y=x^3+8-12x.$$
   Тогда
   $$y'(x)=3x^2-12=0,$$
   $$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
   В отрезок входит только $$x=2$$.

   Проверяем значения:
   $$y(-1)=19,\quad y(2)=-8,\quad y(4)=24.$$

   Наименьшее значение: $$-8$$.

Ответ

а) $$\frac23$$; б) $$-\frac{2}{11}$$; в) $$\frac58$$; г) $$4$$;
а) $$-2$$; б) $$-8$$; в) $$-\frac94$$; г) $$-8$$.