Упр.18.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) sin(x)·ln(9-x^2)=0;
б) cos(x)·lg(5x-6-x^2)=0;
в) ctg(x)·v(16-x^2)=0;
г) tg(x)·(9x-8-x^2)^(1/4)=0. Найдите наибольшее значение функции на заданном промежутке:
а) y=v(x^2+4x+11), x?[-5; -1);
б) y=(2x/(x+2))^5, x?(-?; -4].
а) $$\sin x\cdot \ln(9-x^2)=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
1) $$\ln(9-x^2)=0$$
$$9-x^2=1$$
$$x^2=8,\quad x=\pm 2\sqrt2$$
2) $$\sin x=0$$
$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
Учитываем область определения:
$$9-x^2>0 \;\Rightarrow\; -3<x<3$$
Из решений вида $$x=\pi n$$ подходят только $$x=0$$.
Итак, решения:
$$x=-2\sqrt2,\;0,\;2\sqrt2$$
б) $$\cos x\cdot \lg(5x-6-x^2)=0$$
1) $$\lg(5x-6-x^2)=0$$
$$5x-6-x^2=1$$
$$x^2-5x+7=0$$
$$D=25-28=-3<0$$
Корней нет.
2) $$\cos x=0$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
Проверим область определения:
$$5x-6-x^2>0$$
$$x^2-5x+6<0$$
$$ (x-2)(x-3)<0,\quad 2<x<3$$
В промежутке $$2<x<3$$ из значений $$\frac{\pi}{2}+\pi n$$ подходит только $$x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot 1=\frac{3\pi}{2}$$, но $$\frac{3\pi}{2}\approx 4{,}71$$ не принадлежит этому промежутку. Следовательно, решений нет.
в) $$\ctg x\cdot \sqrt{16-x^2}=0$$
1) $$\sqrt{16-x^2}=0$$
$$16-x^2=0$$
$$x=\pm 4$$
2) $$\ctg x=0$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
Область определения:
$$16-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -4\le x\le 4$$
В этом промежутке подходят:
$$x=-4,\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2},\;4$$
г) $$\tg x\cdot \sqrt[4]{9x-8-x^2}=0$$
1) $$\sqrt[4]{9x-8-x^2}=0$$
$$9x-8-x^2=0$$
$$x^2-9x+8=0$$
$$D=81-32=49$$
$$x_1=1,\quad x_2=8$$
2) $$\tg x=0$$
$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
Область определения:
$$9x-8-x^2\ge 0$$
$$x^2-9x+8\le 0$$
$$ (x-1)(x-8)\le 0,\quad 1\le x\le 8$$
В этом промежутке из чисел вида $$x=\pi n$$ подходят $$x=\pi,\;2\pi$$.
Итак, решения:
$$x=1,\;\pi,\;2\pi,\;8$$
Найти наибольшее значение функции
а) $$y=\sqrt{x^2+4x+11},\quad x\in[-5;-1)$$
Подкоренное выражение:
$$x^2+4x+11=(x+2)^2+7$$
На отрезке $$[-5;-1)$$ наибольшее значение выражения $$x^2+4x+11$$ достигается при $$x=-5$$:
$$y(-5)=\sqrt{25-20+11}=\sqrt{16}=4$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$4$$.
б) $$y=\left(\frac{2x}{x+2}\right)^5,\quad x\in(-\infty;-4]$$
Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{2x}{x+2}$$. На промежутке $$(-\infty;-4]$$ она возрастает, а степень $$5$$ сохраняет порядок значений, значит и $$y$$ возрастает на этом промежутке.
Тогда наибольшее значение достигается при $$x=-4$$:
$$y(-4)=\left(\frac{2\cdot(-4)}{-4+2}\right)^5=\left(\frac{-8}{-2}\right)^5=4^5=1024$$
Ответ
а) $$x=-2\sqrt2,\;0,\;2\sqrt2$$;
б) решений нет;
в) $$x=-4,\;-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2},\;4$$;
г) $$x=1,\;\pi,\;2\pi,\;8$$;
а) $$4$$;
б) $$1024$$.
