Упр.18.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y = log(x + 4; x^2 — x — 6); б) y = log(x^2; 25-x^2) / (2^x — 16);
в) y = 1 / log(x — 2,5; -8 + 6x — x^2); г) y = log(5 — x; x^2 + x — 12);
д) y = log((x — 1)^2; 16 — x^2) / (3^x — 27); е) y = 1 / log(x + 2,5; -x^2 — 4x — 3). Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:
а) y=0,5x+2/x, (-?; 0);
б) y=4x/(x^2+4), (0; +?);
в) y=4x^2 /(x^2+4), (-?; 4];
г) y=2x+2/x, (0; +?);
д) y=4x/(x^2+4), (-?; 0);
е) y=4x^2 /(x^2+4), [-4; +?).
а) $$y=\log_{x+4}(x^2-x-6)$$
Для основания логарифма:
$$x+4>0,\quad x+4\ne 1$$
$$x>-4,\quad x\ne -3$$
Для аргумента:
$$x^2-x-6>0$$
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>3$$
Пересекаем условия:
$$(-4;-3)\cup(-3;-2)\cup(3;+\infty)$$
б) $$y=\dfrac{\log_{x^2}(25-x^2)}{2^x-16}$$
Для основания логарифма:
$$x^2>0,\quad x^2\ne 1$$
$$x\ne 0,\quad x\ne \pm 1$$
Для аргумента:
$$25-x^2>0$$
$$-5<x<5$$
Для знаменателя:
$$2^x-16\ne 0$$
$$2^x\ne 2^4,\quad x\ne 4$$
Итак,
$$(-5;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;4)\cup(4;5)$$
в) $$y=\dfrac{1}{\log_{x-2,5}(-8+6x-x^2)}$$
Для основания логарифма:
$$x-2,5>0,\quad x-2,5\ne 1$$
$$x>2,5,\quad x\ne 3,5$$
Для аргумента:
$$-8+6x-x^2>0$$
$$x^2-6x+8<0$$
$$ (x-2)(x-4)<0,\quad 2<x<4$$
Для знаменателя:
$$\log_{x-2,5}(-8+6x-x^2)\ne 0$$
$$-8+6x-x^2\ne 1$$
$$x^2-6x+9\ne 0,\quad (x-3)^2\ne 0,\quad x\ne 3$$
Пересечение условий:
$$\left(2,5;3\right)\cup\left(3;3,5\right)\cup\left(3,5;4\right)$$
г) $$y=\log_{5-x}(x^2+x-12)$$
Для основания логарифма:
$$5-x>0,\quad 5-x\ne 1$$
$$x<5,\quad x\ne 4$$
Для аргумента:
$$x^2+x-12>0$$
$$x^2+x-12=(x+4)(x-3)$$
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>3$$
Итак,
$$(-\infty;-4)\cup(3;4)\cup(4;5)$$
д) $$y=\dfrac{\log_{(x-1)^2}(16-x^2)}{3^x-27}$$
Для основания логарифма:
$$(x-1)^2>0,\quad (x-1)^2\ne 1$$
$$x\ne 1,\quad x\ne 0,\quad x\ne 2$$
Для аргумента:
$$16-x^2>0,\quad -4<x<4$$
Для знаменателя:
$$3^x-27\ne 0$$
$$3^x\ne 3^3,\quad x\ne 3$$
Пересечение условий:
$$(-4;0)\cup(0;1)\cup(1;2)\cup(2;3)\cup(3;4)$$
е) $$y=\dfrac{1}{\log_{x+2,5}(-x^2-4x-3)}$$
Для основания логарифма:
$$x+2,5>0,\quad x+2,5\ne 1$$
$$x>-2,5,\quad x\ne -1,5$$
Для аргумента:
$$-x^2-4x-3>0$$
$$x^2+4x+3<0$$
$$ (x+3)(x+1)<0,\quad -3<x<-1$$
Для знаменателя:
$$\log_{x+2,5}(-x^2-4x-3)\ne 0$$
$$-x^2-4x-3\ne 1$$
$$x^2+4x+4\ne 0,\quad (x+2)^2\ne 0,\quad x\ne -2$$
Итак,
$$(-2,5;-2)\cup(-2;-1,5)\cup(-1,5;-1)$$
Ход решения
а) $$y=0,5x+\dfrac{2}{x},\quad (-\infty;0)$$
$$y'(x)=0,5-\dfrac{2}{x^2}$$
Находим критические точки:
$$0,5-\dfrac{2}{x^2}=0$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ подходит точка $$x=-2$$.
$$y(-2)=0,5\cdot(-2)+\dfrac{2}{-2}=-1-1=-2$$
Минимум достигается в точке $$x=-2$$, а наибольшего значения нет.
б) $$y=\dfrac{4x}{x^2+4},\quad (0;+\infty)$$
$$y'(x)=\dfrac{4(x^2+4)-4x\cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\dfrac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}$$
$$16-4x^2\ge 0,\quad x^2\le 4,\quad -2\le x\le 2$$
На промежутке $$ (0;+\infty) $$ функция возрастает на $$ (0;2] $$, затем убывает.
$$y(2)=\dfrac{8}{8}=1$$
Наименьшего значения нет, наибольшее равно $$1$$.
в) $$y=\dfrac{4x^2}{x^2+4},\quad (-\infty;4]$$
$$y'(x)=\dfrac{8x(x^2+4)-4x^2\cdot 2x}{(x^2+4)^2}=\dfrac{32x}{(x^2+4)^2}$$
На промежутке $$(-\infty;4]$$ функция убывает при $$x<0$$ и возрастает при $$x>0$$, значит минимум достигается в точке $$x=0$$.
$$y(0)=0$$
Наибольшего значения нет.
г) $$y=2x+\dfrac{2}{x},\quad (0;+\infty)$$
$$y'(x)=2-\dfrac{2}{x^2}$$
$$2-\dfrac{2}{x^2}\ge 0,\quad x^2\ge 1,\quad x\ge 1$$
Следовательно, минимум достигается при $$x=1$$:
$$y(1)=2+2=4$$
Наибольшего значения нет.
д) $$y=\dfrac{4x}{x^2+4},\quad (-\infty;0)$$
Производная:
$$y'(x)=\dfrac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция возрастает на $$[-2;0)$$, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=-2$$:
$$y(-2)=\dfrac{-8}{8}=-1$$
Наибольшего значения нет.
е) $$y=\dfrac{4x^2}{x^2+4},\quad [-4;+\infty)$$
$$y'(x)=\dfrac{32x}{(x^2+4)^2}$$
На промежутке $$[-4;+\infty)$$ функция убывает на $$[-4;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$, значит минимум достигается при $$x=0$$:
$$y(0)=0$$
Наибольшего значения нет.
Ответ
1) а) $$(-4;-3)\cup(-3;-2)\cup(3;+\infty)$$; б) $$(-5;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;4)\cup(4;5)$$; в) $$\left(2,5;3\right)\cup\left(3;3,5\right)\cup\left(3,5;4\right)$$; г) $$(-\infty;-4)\cup(3;4)\cup(4;5)$$; д) $$(-4;0)\cup(0;1)\cup(1;2)\cup(2;3)\cup(3;4)$$; е) $$(-2,5;-2)\cup(-2;-1,5)\cup(-1,5;-1)$$.
2) а) $$y_{\min}=-2$$, $$y_{\max}$$ нет; б) $$y_{\min}$$ нет, $$y_{\max}=1$$; в) $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}$$ нет; г) $$y_{\min}=4$$, $$y_{\max}$$ нет; д) $$y_{\min}=-1$$, $$y_{\max}$$ нет; е) $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}$$ нет.
