Упр.18.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) 2x^3 + x^2 — 2x — 1 = v(-x — 1);
б) 2x^3 — 1,5x^4 = 3,5 — 3cos(2?x). Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:
а) y=x^3-4x^2+3, [0,5; +?);
б) y=(1/5)x^5-4x^2+5, (-?; 1];
в) y=x-4vx, [0; +?);
г) y=x^3-3x^2-2, (-?; 0,5];
д) y=(1/5)x^5-x^3+3, [-1; +?);
е) y=3vx-x, [0; +?).
$$2x^3+x^2-2x-1=\sqrt{-x-1}$$
Область определения:
$$-x-1\ge 0,\quad x\le -1.$$
Рассмотрим левую часть:
$$2x^3+x^2-2x-1=(x+1)(2x^2-x-1)=(x+1)(2x+1)(x-1).$$
При $$x\le -1$$ левая часть неотрицательна только при $$x=-1$$, так как при $$x<-1$$ она отрицательна, а правая часть $$\sqrt{-x-1}\ge 0$$.
Проверим $$x=-1$$:
$$2(-1)^3+(-1)^2-2(-1)-1=0,\qquad \sqrt{-(-1)-1}=0.$$
Значит, $$x=-1$$ — решение.
$$2x^3-1{,}5x^4=3{,}5-3\cos 2\pi x$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$2x^3-1{,}5x^4-3{,}5=-3\cos 2\pi x.$$
Левая часть не превосходит $$0{,}5$$, а правая часть лежит в промежутке $$[-3;3]$$. Удобнее рассмотреть функции
$$f(x)=2x^3-1{,}5x^4,\qquad g(x)=3{,}5-3\cos 2\pi x.$$
Имеем:
$$f'(x)=6x^2-6x^3=6x^2(1-x),$$
значит, на промежутке $$x\le 1$$ функция $$f$$ возрастает. Также
$$g(x)\ge 3{,}5-3\cdot 1=0{,}5.$$
Проверим $$x=1$$:
$$2\cdot 1^3-1{,}5\cdot 1^4=0{,}5,\qquad 3{,}5-3\cos 2\pi=3{,}5-3=0{,}5.$$
Следовательно, $$x=1$$ — решение.
$$y=x^3-4x^2+3,\quad [0{,}5;+\infty)$$
$$y'(x)=3x^2-8x=x(3x-8).$$
На промежутке $$[0{,}5;+\infty)$$ функция убывает при $$0{,}5\le x<\frac{8}{3}$$ и возрастает при $$x>\frac{8}{3}$$, значит, минимум достигается в точке $$x=\frac{8}{3}$$:
$$y\!\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{512}{27}-\frac{256}{9}+3=-\frac{175}{27}.$$
Наибольшего значения на данном промежутке нет.
$$y=\frac15x^5-4x^2+5,\quad (-\infty;1]$$
$$y'(x)=x^4-8x=x(x^3-8).$$
На промежутке $$(-\infty;1]$$ функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается в точке $$x=1$$:
$$y(1)=\frac15-4+5=\frac65.$$
Наименьшего значения на данном промежутке нет.
$$y=x-4\sqrt{x},\quad [0;+\infty)$$
$$y'(x)=1-\frac{2}{\sqrt{x}}.$$
$$y'(x)\ge 0 \iff \sqrt{x}\ge 2 \iff x\ge 4.$$
Значит, функция убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty)$$. Минимум достигается при $$x=4$$:
$$y(4)=4-4\cdot 2=-4.$$
Наибольшего значения нет.
$$y=x^3-3x^2-2,\quad (-\infty;0{,}5]$$
$$y'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
На промежутке $$(-\infty;0{,}5]$$ функция возрастает при $$x\le 0$$ и убывает при $$0<x\le 0{,}5$$, значит, наибольшее значение достигается при $$x=0$$:
$$y(0)=-2.$$
Наименьшего значения нет.
$$y=\frac15x^5-x^3+3,\quad [-1;+\infty)$$
$$y'(x)=x^4-3x^2=x^2(x^2-3).$$
На промежутке $$[-1;+\infty)$$ функция убывает на $$[-1;\sqrt3]$$ и возрастает на $$[\sqrt3;+\infty)$$, значит, минимум достигается при $$x=\sqrt3$$:
$$y(\sqrt3)=\frac15\cdot 9\sqrt3-3\sqrt3+3=3-\frac{6\sqrt3}{5}.$$
Наибольшего значения нет.
$$y=3\sqrt{x}-x,\quad [0;+\infty)$$
$$y'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-1.$$
$$y'(x)\ge 0 \iff \sqrt{x}\le \frac32 \iff x\le \frac94.$$
Значит, функция возрастает на $$[0;\frac94]$$ и убывает на $$[\frac94;+\infty)$$. Максимум достигается при $$x=\frac94$$:
$$y\!\left(\frac94\right)=3\cdot \frac32-\frac94=\frac94.$$
Наименьшего значения нет.
Ответ
а) $$x=-1$$;
б) $$x=1$$;
в) $$y_{\min}=-\frac{175}{27},\ y_{\max}$$ не существует;
г) $$y_{\max}=\frac65,\ y_{\min}$$ не существует;
д) $$y_{\max}=-2,\ y_{\min}$$ не существует;
е) $$y_{\min}=3-\frac{6\sqrt3}{5},\ y_{\max}$$ не существует;
ж) $$y_{\max}=\frac94,\ y_{\min}$$ не существует.
