Упр.18.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=x-ln(x); б) y=2x+ln(x). На отрезке [—3; 0| найдите наибольшее значение функции:
а) y=1-x^2-4x; г) y=3-x^2+2x;
б) y=3^(1-x^2-4x); д) y=5^(3-x^2+2x);
в) y=log_5(1-x^2-4x); е) y=log_2(3-x^2+2x).

а) $$y=x-\ln x$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$

Так как при $$x>0$$ знаменатель положителен, то

$$y'(x)<0 \text{ при } 0<x<1,\qquad y'(x)>0 \text{ при } x>1.$$

Значит, функция убывает на $$\left(0;1\right)$$ и возрастает на $$\left(1;+\infty\right).$$

Минимум достигается при $$x=1$$:

$$y_{\min}=1-\ln 1=1.$$

Следовательно, $$D(y)=\left(0;+\infty\right),\quad E(y)=\left[1;+\infty\right).$$

б) $$y=2x+\ln x$$

Область определения: $$x>0.$$

Производная:

$$y'(x)=2+\frac{1}{x}.$$

При $$x>0$$ имеем $$y'(x)>0,$$ значит, функция возрастает на всей области определения.

Следовательно, $$D(y)=\left(0;+\infty\right),\quad E(y)=\left(-\infty;+\infty\right).$$

На отрезке $$[-3;0]$$ найдём наибольшее значение.

а) $$y=1-x^2-4x$$

$$y'(x)=-2x-4.$$

$$-2x-4=0 \Rightarrow x=-2.$$

Сравним значения функции в точках $$-3,-2,0$$:

$$y(-3)=1-9+12=4,$$

$$y(-2)=1-4+8=5,$$

$$y(0)=1.$$

Наибольшее значение равно $$5.$$

б) $$y=3^{\,1-x^2-4x}$$

Так как основание $$3>1,$$ функция возрастает по показателю степени, поэтому достаточно сравнить значения показателя:

$$1-x^2-4x.$$

Максимум этого выражения на $$[-3;0]$$ достигается при $$x=-2$$ и равен $$5.$$ Тогда

$$y_{\max}=3^5=243.$$

в) $$y=\log_5(1-x^2-4x)$$

Область определения: $$1-x^2-4x>0.$$ На отрезке $$[-3;0]$$ аргумент логарифма положителен в рассматриваемых точках.

Так как логарифм по основанию $$5>1$$ возрастает, максимум функции достигается там же, где максимум выражения $$1-x^2-4x.$$

Это при $$x=-2$$:

$$y_{\max}=\log_5 5=1.$$

г) $$y=3-x^2+2x$$

$$y'(x)=-2x+2.$$

$$-2x+2=0 \Rightarrow x=1.$$

Проверим значения в концах отрезка и в вершине:

$$y(-3)=3-9-6=-12,$$

$$y(0)=3.$$

Наибольшее значение равно $$3.$$

д) $$y=5^{\,3-x^2+2x}$$

Основание $$5>1,$$ значит, максимум функции достигается при максимуме показателя $$3-x^2+2x.$$

Он равен $$3$$ при $$x=1$$, поэтому

$$y_{\max}=5^3=125.$$

е) $$y=\log_2(3-x^2+2x)$$

Основание $$2>1,$$ значит, логарифм возрастает. Максимум достигается при максимуме выражения $$3-x^2+2x,$$ то есть при $$x=1$$:

$$y_{\max}=\log_2 4=2.$$

Ответ

а) $$D(y)=\left(0;+\infty\right),\ E(y)=\left[1;+\infty\right);$$ б) $$D(y)=\left(0;+\infty\right),\ E(y)=\left(-\infty;+\infty\right);$$ на $$[-3;0]$$: а) $$5$$, б) $$243$$, в) $$1$$, г) $$3$$, д) $$125$$, е) $$2$$.