Упр.18.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=x-\ln x$$

   $$D(y)=(0;+\infty)$$

   $$y'(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}$$

   На области определения $$x>0$$, поэтому

   $$y'(x)<0 \text{ при } 0<x<1,\qquad y'(x)>0 \text{ при } x>1.$$

   Следовательно, функция убывает на $$\left(0;1\right)$$ и возрастает на $$\left(1;+\infty\right)$$.

   Минимум достигается при $$x=1$$:

   $$y_{\min}=1-\ln 1=1.$$

   При $$x\to 0+$$ имеем $$y\to +\infty$$, значит вертикальная асимптота: $$x=0$$.

   $$E(y)=[1;+\infty)$$

2. б) $$y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$$

   $$D(y)=(0;+\infty)$$

   $$y'(x)=\frac{1-\frac12\ln x}{x\sqrt{x}}=\frac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}$$

   Так как $$2x\sqrt{x}>0$$ при $$x>0$$, то знак производной определяется числителем:

   $$y'(x)>0 \text{ при } x<e^2,\qquad y'(x)<0 \text{ при } x>e^2.$$

   Значит, функция возрастает на $$\left(0;e^2\right)$$ и убывает на $$\left(e^2;+\infty\right)$$.

   Максимум:

   $$x_{\max}=e^2,\qquad y_{\max}=\frac{\ln e^2}{\sqrt{e^2}}=\frac{2}{e}.$$

   При $$x\to 0+$$ и $$x\to +\infty$$ получаем $$y\to -\infty$$, поэтому

   $$E(y)=\left(-\infty;\frac{2}{e}\right].$$

3. в) $$y=\frac{x}{\ln x}$$

   $$D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty)$$

   $$y'(x)=\frac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$$

   Так как $$(\ln x)^2>0$$ при $$x\ne 1$$, то

   $$y'(x)<0 \text{ при } 0<x<e,\qquad y'(x)>0 \text{ при } x>e.$$

   Следовательно, функция убывает на $$\left(0;1\right)$$ и $$\left(1;e\right)$$, возрастает на $$\left(e;+\infty\right)$$.

   Минимум:

   $$x_{\min}=e,\qquad y_{\min}=\frac{e}{\ln e}=e.$$

   Вертикальная асимптота: $$x=1$$.

   $$E(y)=(-\infty;0)\cup[e;+\infty)$$

4. г) $$y=x(\ln x+1)$$

   $$D(y)=(0;+\infty)$$

   $$y'(x)=\ln x+1+x\cdot\frac1x=\ln x+2$$

   $$y'(x)=0 \iff \ln x=-2 \iff x=e^{-2}.$$

   Так как $$y'(x)<0$$ при $$0<x<e^{-2}$$ и $$y'(x)>0$$ при $$x>e^{-2}$$, функция убывает, затем возрастает.

   Минимум:

   $$y_{\min}=e^{-2}(\ln e^{-2}+1)=e^{-2}(-2+1)=-\frac1{e^2}.$$

   $$E(y)=\left[-\frac1{e^2};+\infty\right)$$

Ответ

1. а) $$D(y)=(0;+\infty),\ E(y)=[1;+\infty)$$;
2. б) $$D(y)=(0;+\infty),\ E(y)=\left(-\infty;\frac{2}{e}\right]$$;
3. в) $$D(y)=(0;1)\cup(1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;0)\cup[e;+\infty)$$;
4. г) $$D(y)=(0;+\infty),\ E(y)=\left[-\frac1{e^2};+\infty\right)$$.

1. а) $$y=\sin x+x,\quad x\in\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$y'(x)=\cos x+1\ge 0$$

   Функция не убывает на данном отрезке, значит наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах отрезка:

   $$y\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1-\frac{3\pi}{2},\qquad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\frac{\pi}{2}.$$

   $$E(y)=\left[1-\frac{3\pi}{2};\,1+\frac{\pi}{2}\right]$$

2. б) $$y=2\cos x-x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$

   $$y'(x)=-2\sin x-1$$

   $$y'(x)=0 \iff \sin x=-\frac12$$

   На отрезке получаем критические точки:

   $$x=-\frac{\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}.$$

   Считаем значения функции в концах отрезка и в критических точках:

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2},\qquad y\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3+\frac{\pi}{6},$$

   $$y\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\sqrt3-\frac{7\pi}{6},\qquad y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{3\pi}{2}.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=\left[-\sqrt3-\frac{7\pi}{6};\,\sqrt3+\frac{\pi}{6}\right]$$

3. в) $$y=\tg x-x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{3}\right]$$

   $$y'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-1=\tg^2 x\ge 0$$

   Функция не убывает на отрезке, поэтому

   $$y\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3+\frac{\pi}{3},\qquad y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3-\frac{\pi}{3}.$$

   $$E(y)=\left[-\sqrt3+\frac{\pi}{3};\,\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right]$$

4. г) $$y=\sin x+x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$

   $$y'(x)=\cos x+1\ge 0$$

   Функция не убывает на отрезке, значит

   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\frac{\pi}{2},\qquad y\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1+\frac{5\pi}{2}.$$

   $$E(y)=\left[1+\frac{\pi}{2};\,1+\frac{5\pi}{2}\right]$$

5. д) $$y=x-\cos x,\quad x\in\left[-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$

   $$y'(x)=1+\sin x\ge 0$$

   Функция не убывает на отрезке, поэтому

   $$y(-\pi)=-\pi+1,\qquad y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{3\pi}{2}.$$

   $$E(y)=\left[1-\pi;\,\frac{3\pi}{2}\right]$$

6. е) $$y=\ctg x+x,\quad x\in\left[\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$

   $$y'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}+1\le 0$$

   Функция не возрастает на отрезке, значит

   $$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+\frac{\pi}{4},\qquad y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1+\frac{3\pi}{4}.$$

   $$E(y)=\left[-1+\frac{3\pi}{4};\,1+\frac{\pi}{4}\right]$$

Ответ

1. а) $$E(y)=\left[1-\frac{3\pi}{2};\,1+\frac{\pi}{2}\right]$$;
2. б) $$E(y)=\left[-\sqrt3-\frac{7\pi}{6};\,\sqrt3+\frac{\pi}{6}\right]$$;
3. в) $$E(y)=\left[-\sqrt3+\frac{\pi}{3};\,\sqrt3-\frac{\pi}{3}\right]$$;
4. г) $$E(y)=\left[1+\frac{\pi}{2};\,1+\frac{5\pi}{2}\right]$$;
5. д) $$E(y)=\left[1-\pi;\,\frac{3\pi}{2}\right]$$;
6. е) $$E(y)=\left[-1+\frac{3\pi}{4};\,1+\frac{\pi}{4}\right]$$.