Упр.18.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$y=(x-1)e^{-x}$$

   $$y’=(x-1)’e^{-x}+(x-1)(e^{-x})’=e^{-x}-(x-1)e^{-x}=e^{-x}(2-x).$$
   Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, то
   $$y’>0 \iff x<2,$$
   $$y'<0 \iff x>2.$$
   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;2)$$ и убывает на $$(2;+\infty)$$.

   В точке $$x=2$$ достигается максимум:
   $$y(2)=(2-1)e^{-2}=\frac{1}{e^2}.$$

   $$\lim_{x\to+\infty}(x-1)e^{-x}=0,$$
   поэтому горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

   $$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;\frac{1}{e^2}].$$

2. б) $$y=x+e^{-x}$$

   $$y’=1-e^{-x}.$$
   Тогда
   $$y’=0 \iff e^{-x}=1 \iff x=0.$$
   При $$x<0$$ имеем $$e^{-x}>1$$, значит $$y'<0$$; при $$x>0$$ имеем $$e^{-x}<1$$, значит $$y’>0$$.
   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty)$$.

   В точке $$x=0$$ достигается минимум:
   $$y(0)=0+e^0=1.$$

   Асимптота при $$x\to+\infty$$:
   $$y=x+e^{-x}\sim x,$$
   то есть наклонная асимптота $$y=x$$.

   $$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=[1;+\infty).$$

3. в) $$y=xe^x$$

   $$y’=e^x+xe^x=e^x(x+1).$$
   Так как $$e^x>0$$, то
   $$y’=0 \iff x=-1.$$
   При $$x<-1$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>-1$$ имеем $$y’>0$$.
   Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и возрастает на $$(-1;+\infty)$$.

   В точке $$x=-1$$ достигается минимум:
   $$y(-1)=-\frac{1}{e}.$$

   $$\lim_{x\to-\infty}xe^x=0,$$
   поэтому горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

   $$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=\left[-\frac{1}{e};+\infty\right).$$

4. г) $$y=\frac{e^x}{x+1}$$

   Область определения:
   $$x\ne -1,$$
   то есть
   $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

   $$y’=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}.$$
   Так как $$e^x>0$$ и $$(x+1)^2>0$$, знак производной совпадает со знаком $$x$$:
   $$y'<0 \text{ при } x<0,\qquad y’>0 \text{ при } x>0.$$
   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;0)$$, возрастает на $$(0;+\infty)$$.

   В точке $$x=0$$ достигается минимум:
   $$y(0)=\frac{e^0}{1}=1.$$

   Вертикальная асимптота: $$x=-1.$$
   Наклонной асимптоты нет.

   $$E(y)=(-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$

5. Найти наименьшее и наибольшее значения на отрезках.

   а) $$y=x^2e^x,\quad [-4;-1]$$

   $$y’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2).$$
   На отрезке $$[-4;-1]$$ критическая точка только $$x=-2$$.
   Сравним значения функции в концах отрезка и в критической точке:
   $$y(-4)=16e^{-4}=\frac{16}{e^4},$$
   $$y(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2},$$
   $$y(-1)=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$
   Наибольшее значение: $$\frac{4}{e^2}$$, наименьшее: $$\frac{16}{e^4}.$$

   б) $$y=x-\ln x,\quad \left[\frac{1}{e};e\right]$$

   $$y’=1-\frac{1}{x}.$$
   $$y’=0 \iff x=1.$$
   Проверим значения:
   $$y\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}-\ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}+1,$$
   $$y(1)=1-\ln 1=1,$$
   $$y(e)=e-\ln e=e-1.$$
   Следовательно, наименьшее значение равно $$1$$, наибольшее — $$e-1.$$

   в) $$y=x+\ln(-x),\quad [-4;-0{,}5]$$

   $$y’=1+\frac{1}{x}.$$
   $$y’=0 \iff x=-1.$$
   Считаем значения:
   $$y(-4)=-4+\ln 4,$$
   $$y(-1)=-1+\ln 1=-1,$$
   $$y(-0{,}5)=-0{,}5+\ln 0{,}5.$$
   Наименьшее значение: $$-1$$, наибольшее: $$\ln 4-4.$$

   г) $$y=x^2e^x,\quad [-1;2]$$

   Критическая точка на отрезке: $$x=0$$.
   Сравним значения:
   $$y(-1)=\frac{1}{e},\qquad y(0)=0,\qquad y(2)=4e^2.$$
   Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее: $$4e^2.$$

   д) $$y=x-3\ln x,\quad [e;e^2]$$

   $$y’=1-\frac{3}{x}.$$
   $$y’=0 \iff x=3.$$
   Значения на концах и в критической точке:
   $$y(e)=e-3,$$
   $$y(3)=3-3\ln 3=3-\ln 27,$$
   $$y(e^2)=e^2-3\ln e^2=e^2-6.$$
   Наименьшее значение: $$e-3$$, наибольшее: $$e^2-6.$$

   е) $$y=x+e^{-x},\quad [-\ln 4;\ln 2]$$

   $$y’=1-e^{-x}.$$
   $$y’=0 \iff x=0.$$
   Считаем значения:
   $$y(-\ln 4)=-\ln 4+e^{\ln 4}=4-\ln 4,$$
   $$y(0)=1,$$
   $$y(\ln 2)=\ln 2+e^{-\ln 2}=\ln 2+\frac{1}{2}.$$
   Наименьшее значение: $$1$$, наибольшее: $$4-\ln 4.$$

Ответ

Исследование функций:
а) возрастает на $$(-\infty;2)$$, убывает на $$(2;+\infty)$$, максимум $$\frac{1}{e^2}$$;
б) убывает на $$(-\infty;0)$$, возрастает на $$(0;+\infty)$$, минимум $$1$$;
в) убывает на $$(-\infty;-1)$$, возрастает на $$(-1;+\infty)$$, минимум $$-\frac{1}{e}$$;
г) убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;0)$$, возрастает на $$(0;+\infty)$$, минимум $$1$$.

На отрезках:
а) $$\min=\frac{16}{e^4},\ \max=\frac{4}{e^2}$$;
б) $$\min=1,\ \max=e-1$$;
в) $$\min=-1,\ \max=\ln 4-4$$;
г) $$\min=0,\ \max=4e^2$$;
д) $$\min=e-3,\ \max=e^2-6$$;
е) $$\min=1,\ \max=4-\ln 4$$.