Упр.18.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Исследуйте функцию и постройте её график:
а) $$y=\sqrt{x}-x$$;
б) $$y=x\sqrt{x+2}$$;
в) $$y=x-\sqrt{x+1}$$;
г) $$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x}$$. - Задание учебника 2022 года. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) $$y=\frac{x^2+4x-7}{x^2+4x-5},\quad [-4;-1]$$;
б) $$y=\frac{x^2-8x-11}{x^2-8x},\quad [2;7]$$.
а) $$y=\sqrt{x}-x$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1.$$
Исследуем знак производной:
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\ge 0$$
$$1\ge 2\sqrt{x}$$
$$\sqrt{x}\le \frac12$$
$$x\le \frac14.$$
Значит, функция возрастает при $$0\le x\le \frac14$$ и убывает при $$x\ge \frac14.$$
Точка максимума:
$$x_{\max}=\frac14,\qquad y_{\max}=\frac12-\frac14=\frac14.$$
График проходит через точку $$\left(0,0\right)$$ и имеет максимум в точке $$\left(\frac14,\frac14\right).$$
б) $$y=x\sqrt{x+2}$$
Область определения: $$x\ge -2.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\sqrt{x+2}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$y'(x)=\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}.$$
Так как знаменатель положителен при $$x>-2,$$ знак производной определяется числителем:
$$3x+4=0 \Rightarrow x=-\frac43.$$
Следовательно, функция убывает на $$\left[-2,-\frac43\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac43,+\infty\right).$$
Точка минимума:
$$x_{\min}=-\frac43,\qquad y_{\min}=-\frac43\sqrt{\frac23}=-\frac43\sqrt{\frac23}.$$
в) $$y=x-\sqrt{x+1}$$
Область определения: $$x\ge -1.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.$$
Исследуем знак производной:
$$1-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\ge 0$$
$$2\sqrt{x+1}\ge 1$$
$$4(x+1)\ge 1$$
$$x\ge -\frac34.$$
Значит, функция убывает на $$\left[-1,-\frac34\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac34,+\infty\right).$$
Точка минимума:
$$x_{\min}=-\frac34,\qquad y_{\min}=-\frac34-\sqrt{\frac14}=-\frac34-\frac12=-\frac54.$$
г) $$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x}$$
Область определения: $$x\ge 1.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}}{x^2}.$$
Приведём числитель к общему виду:
$$x-2(x-1)=2-x.$$
Тогда
$$y'(x)=\frac{2-x}{2x^2\sqrt{x-1}}.$$
При $$x>1$$ знаменатель положителен, поэтому
$$y'(x)\ge 0 \iff 2-x\ge 0 \iff x\le 2.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[1,2]$$ и убывает на $$[2,+\infty).$$
Точка максимума:
$$x_{\max}=2,\qquad y_{\max}=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac12.$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x-1}}{x}=0,$$
значит, $$y=0.$$
а) $$y=\frac{x^2+4x-7}{x^2+4x-5},\qquad [-4;-1]$$
Преобразуем дробь:
$$y=1-\frac{2}{x^2+4x-5}.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(2x+4)\cdot 2}{(x^2+4x-5)^2}.$$
Критическая точка:
$$2x+4=0 \Rightarrow x=-2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-4)=\frac{16-16-7}{16-16-5}=\frac{-7}{-5}=\frac75,$$
$$y(-2)=\frac{4-8-7}{4-8-5}=\frac{-11}{-9}=\frac{11}{9},$$
$$y(-1)=\frac{1-4-7}{1-4-5}=\frac{-10}{-8}=\frac54.$$
Наибольшее значение: $$\frac75.$$
Наименьшее значение: $$\frac54.$$
б) $$y=\frac{x^2-8x-11}{x^2-8x},\qquad [2;7]$$
Преобразуем дробь:
$$y=1-\frac{11}{x^2-8x}.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(2x-8)\cdot 11}{(x^2-8x)^2}.$$
Критическая точка:
$$2x-8=0 \Rightarrow x=4.$$
Вычислим значения функции:
$$y(2)=\frac{4-16-11}{4-16}=\frac{-23}{-12}=\frac{23}{12},$$
$$y(4)=\frac{16-32-11}{16-32}=\frac{-27}{-16}=\frac{27}{16},$$
$$y(7)=\frac{49-56-11}{49-56}=\frac{-18}{-7}=\frac{18}{7}.$$
Наибольшее значение: $$\frac{18}{7}.$$
Наименьшее значение: $$\frac{27}{16}.$$
Ответ
а) $$D(x)=[0,+\infty),\ E(y)=(-\infty;\tfrac14]$$; максимум в точке $$\left(\tfrac14,\tfrac14\right)$$.
б) $$D(x)=[-2,+\infty),\ E(y)=\left[-\frac43\sqrt{\frac23},+\infty\right)$$; минимум в точке $$\left(-\tfrac43,-\tfrac43\sqrt{\tfrac23}\right)$$.
в) $$D(x)=[-1,+\infty),\ E(y)=\left[-\frac54,+\infty\right)$$; минимум в точке $$\left(-\tfrac34,-\tfrac54\right)$$.
г) $$D(x)=[1,+\infty),\ E(y)=(0,\tfrac12]$$; максимум в точке $$\left(2,\tfrac12\right)$$.
а) на отрезке $$[-4;-1]$$: $$y_{\min}=\frac54,\ y_{\max}=\frac75.$$
б) на отрезке $$[2;7]$$: $$y_{\min}=\frac{27}{16},\ y_{\max}=\frac{18}{7}.$$
