Упр.18.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:
а) Функция определена на всей числовой прямой; имеет одну точку минимума и две точки максимума; принимает только неотрицательные значения; ограничена снизу и не ограничена сверху.
б) Функция определена на всей числовой прямой; возрастает на $$(-\infty; -3]$$ и на $$[4; +\infty)$$; убывает на $$[-3; 4]$$; точка $$x=-3$$ является стационарной; точка $$x=4$$ является критической; не ограничена. - Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) $$y=8x^5$$, $$[-1; 3]$$;
б) $$y=\sqrt{x+1}$$, $$[1; 4]$$;
в) $$y=-\frac{6}{x}$$, $$[-6; -1]$$;
г) $$y=6x^4$$, $$[-3; 2]$$;
д) $$y=\sqrt{-x}+2$$, $$[-8; -1]$$;
е) $$y=\frac{7}{x}$$, $$[1; 7]$$.
а) Требуется функция, определённая при всех $$x \in \mathbb{R}$$, неотрицательная, ограниченная снизу и не ограниченная сверху, с одной точкой минимума и двумя точками максимума.
Подойдёт, например, график с одной нижней точкой и двумя вершинами выше неё, при этом весь график лежит не ниже оси $$Ox$$. Тогда $$y_{\min}$$ существует, а наибольшего значения нет.
б) Требуется функция, определённая на всей числовой прямой, возрастающая на $$(-\infty; -3]$$ и $$[4; +\infty)$$, убывающая на $$[-3; 4]$$, причём $$x=-3$$ — стационарная точка, а $$x=4$$ — критическая точка.
Подойдёт, например, график с локальным максимумом в точке $$x=-3$$ и изломом или вертикальной касательной в точке $$x=4$$, после чего функция снова возрастает. Такая функция не ограничена.
а) $$y=8x^5,\; [-1; 3]$$
Найдём значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y'(x)=40x^4$$
$$40x^4=0 \Rightarrow x=0$$
$$y(-1)=8\cdot(-1)^5=-8$$
$$y(0)=0$$
$$y(3)=8\cdot 3^5=8\cdot 243=1944$$Наименьшее значение: $$-8$$, наибольшее значение: $$1944$$.
б) $$y=\sqrt{x}+1,\; [1; 4]$$
$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$$
Функция возрастает на всём отрезке, значит:
$$y(1)=\sqrt{1}+1=2$$
$$y(4)=\sqrt{4}+1=3$$Наименьшее значение: $$2$$, наибольшее значение: $$3$$.
в) $$y=-\frac{6}{x},\; [-6; -1]$$
$$y'(x)=\frac{6}{x^2} > 0$$
Функция возрастает на отрезке, поэтому:
$$y(-6)=-\frac{6}{-6}=1$$
$$y(-1)=-\frac{6}{-1}=6$$Наименьшее значение: $$1$$, наибольшее значение: $$6$$.
г) $$y=6x^4,\; [-3; 2]$$
$$y'(x)=24x^3$$
$$24x^3=0 \Rightarrow x=0$$Сравним значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$y(-3)=6\cdot 81=486$$
$$y(0)=0$$
$$y(2)=6\cdot 16=96$$Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$486$$.
д) $$y=\sqrt{-x}+2,\; [-8; -1]$$
$$y'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{-x}} < 0$$
Функция убывает на отрезке, значит:
$$y(-8)=\sqrt{8}+2=2\sqrt{2}+2$$
$$y(-1)=\sqrt{1}+2=3$$Наибольшее значение: $$2\sqrt{2}+2$$, наименьшее значение: $$3$$.
е) $$y=\frac{7}{x},\; [1; 7]$$
$$y'(x)=-\frac{7}{x^2} < 0$$
Функция убывает на отрезке, поэтому:
$$y(1)=7$$
$$y(7)=1$$Наибольшее значение: $$7$$, наименьшее значение: $$1$$.
Ответ
а) $$y_{\min}$$ есть, $$y_{\max}$$ нет; б) $$y_{\max}$$ нет, $$y_{\min}$$ нет; а) $$-8,\; 1944$$; б) $$2,\; 3$$; в) $$1,\; 6$$; г) $$0,\; 486$$; д) $$3,\; 2\sqrt{2}+2$$; е) $$1,\; 7$$.
