Упр.18.1 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Функция определена на всей числовой прямой; имеет одну точку минимума и две точки максимума; принимает только неотрицательные значения; ограничена снизу и не ограничена сверху.
б) Функция определена на всей числовой прямой; возрастает на (—?; —3] и на [4; +?); убывает на [—3; 4]; точка х=—3 является стационарной; точка х=4 является критической; не ограничена. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном отрезке:
а) y=8x^5, [-1; 3]; г) y=6x^4, [-3; 2];
б) y=vx+1, [1; 4]; д) y=v(-x)+2, [-8; -1];
в) y=-6/x, [-6; -1]; е) y=7/x, [1; 7].

1. а) Требуется функция, определённая при всех $$x \in \mathbb{R}$$, неотрицательная, ограниченная снизу и не ограниченная сверху, с одной точкой минимума и двумя точками максимума.

   Подойдёт, например, график с одной нижней точкой и двумя вершинами выше неё, при этом весь график лежит не ниже оси $$Ox$$. Тогда $$y_{\min}$$ существует, а наибольшего значения нет.

2. б) Требуется функция, определённая на всей числовой прямой, возрастающая на $$(-\infty; -3]$$ и $$[4; +\infty)$$, убывающая на $$[-3; 4]$$, причём $$x=-3$$ — стационарная точка, а $$x=4$$ — критическая точка.

   Подойдёт, например, график с локальным максимумом в точке $$x=-3$$ и изломом или вертикальной касательной в точке $$x=4$$, после чего функция снова возрастает. Такая функция не ограничена.

3. а) $$y=8x^5,\; [-1; 3]$$

   Найдём значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$y'(x)=40x^4$$
   $$40x^4=0 \Rightarrow x=0$$
   $$y(-1)=8\cdot(-1)^5=-8$$
   $$y(0)=0$$
   $$y(3)=8\cdot 3^5=8\cdot 243=1944$$

   Наименьшее значение: $$-8$$, наибольшее значение: $$1944$$.

4. б) $$y=\sqrt{x}+1,\; [1; 4]$$

   $$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$$

   Функция возрастает на всём отрезке, значит:

   $$y(1)=\sqrt{1}+1=2$$
   $$y(4)=\sqrt{4}+1=3$$

   Наименьшее значение: $$2$$, наибольшее значение: $$3$$.

5. в) $$y=-\frac{6}{x},\; [-6; -1]$$

   $$y'(x)=\frac{6}{x^2} > 0$$

   Функция возрастает на отрезке, поэтому:

   $$y(-6)=-\frac{6}{-6}=1$$
   $$y(-1)=-\frac{6}{-1}=6$$

   Наименьшее значение: $$1$$, наибольшее значение: $$6$$.

6. г) $$y=6x^4,\; [-3; 2]$$

   $$y'(x)=24x^3$$
   $$24x^3=0 \Rightarrow x=0$$

   Сравним значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$y(-3)=6\cdot 81=486$$
   $$y(0)=0$$
   $$y(2)=6\cdot 16=96$$

   Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$486$$.

7. д) $$y=\sqrt{-x}+2,\; [-8; -1]$$

   $$y'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{-x}} < 0$$

   Функция убывает на отрезке, значит:

   $$y(-8)=\sqrt{8}+2=2\sqrt{2}+2$$
   $$y(-1)=\sqrt{1}+2=3$$

   Наибольшее значение: $$2\sqrt{2}+2$$, наименьшее значение: $$3$$.

8. е) $$y=\frac{7}{x},\; [1; 7]$$

   $$y'(x)=-\frac{7}{x^2} < 0$$

   Функция убывает на отрезке, поэтому:

   $$y(1)=7$$
   $$y(7)=1$$

   Наибольшее значение: $$7$$, наименьшее значение: $$1$$.

Ответ

а) $$y_{\min}$$ есть, $$y_{\max}$$ нет; б) $$y_{\max}$$ нет, $$y_{\min}$$ нет; а) $$-8,\; 1944$$; б) $$2,\; 3$$; в) $$1,\; 6$$; г) $$0,\; 486$$; д) $$3,\; 2\sqrt{2}+2$$; е) $$1,\; 7$$.