Упр.17.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=x^3 /3-8x^2+15x-32; г) y=2x^3 /3-5,5x^2+14x+25;
б) y=8x^4+4x-19; д) y=x^4 /4-27x+11;
в) y=5x^5-3x^3+7; е) y=3x^5-5x^3-6. Исследуйте функцию и постройте её график:
а) y=(x-1)e^(-x); в) y=xe^x;
б) y=x+e^(-x); г) y=e^x /(x+1).
1. Найдём точки экстремума.
$$y=\frac{x^3}{3}-8x^2+15x-32$$
$$y'(x)=x^2-16x+15=(x-1)(x-15)$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=1,\; x=15$$
Знак производной: при $$x<1$$ и $$x>15$$ $$y'(x)>0$$, а при $$1<x<15$$ $$y'(x)<0$$.
Значит, в точке $$x=1$$ — максимум, в точке $$x=15$$ — минимум.
$$y=8x^4+4x-19$$
$$y'(x)=32x^3+4=4(8x^3+1)=4(2x+1)(4x^2-2x+1)$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=-\frac12$$
Так как $$4x^2-2x+1>0$$ при всех $$x$$, знак $$y'(x)$$ определяется множителем $$2x+1$$: слева от $$-\frac12$$ производная отрицательна, справа положительна.
Следовательно, в точке $$x=-\frac12$$ — минимум.
$$y=5x^5-3x^3+7$$
$$y'(x)=25x^4-9x^2=x^2(25x^2-9)=x^2(5x-3)(5x+3)$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=-\frac35,\; x=0,\; x=\frac35$$
Знак производной меняется только в точках $$x=\pm \frac35$$, а в точке $$x=0$$ не меняется.
Значит, в точке $$x=-\frac35$$ — максимум, в точке $$x=\frac35$$ — минимум.
$$y=\frac{2x^3}{3}-5{,}5x^2+14x+25$$
$$y'(x)=2x^2-11x+14=(x-2)(2x-7)$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=2,\; x=\frac72$$
При $$x<2$$ и $$x>\frac72$$ $$y'(x)>0$$, а при $$2<x<\frac72$$ $$y'(x)<0$$.
Следовательно, в точке $$x=2$$ — максимум, в точке $$x=\frac72$$ — минимум.
$$y=\frac{x^4}{4}-27x+11$$
$$y'(x)=x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$$
Так как $$x^2+3x+9>0$$ при всех $$x$$, то $$y'(x)<0$$ при $$x<3$$ и $$y'(x)>0$$ при $$x>3$$.
Значит, в точке $$x=3$$ — минимум.
$$y=3x^5-5x^3-6$$
$$y'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)=15x^2(x-1)(x+1)$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=0,\; x=1$$
Знак производной меняется в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$, а в точке $$x=0$$ не меняется.
Следовательно, в точке $$x=-1$$ — максимум, в точке $$x=1$$ — минимум.
2. Исследуем функции и строим графики.
$$y=(x-1)e^{-x}$$
$$y'(x)=e^{-x}-(x-1)e^{-x}=e^{-x}(2-x)$$
Так как $$e^{-x}>0$$, то $$y'(x)>0$$ при $$x<2$$ и $$y'(x)<0$$ при $$x>2$$.
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;2)$$ и убывает на $$(2;+\infty)$$, максимум достигается при $$x=2$$:
$$y_{\max}=(2-1)e^{-2}=\frac{1}{e^2}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$.
Горизонтальная асимптота: $$y=0$$ при $$x\to+\infty$$.
Множество значений: $$E(y)=(-\infty;\frac{1}{e^2}]$$.
$$y=x+e^{-x}$$
$$y'(x)=1-e^{-x}$$
$$y'(x)=0 \Rightarrow e^{-x}=1 \Rightarrow x=0$$
При $$x<0$$ $$e^{-x}>1$$, значит $$y'(x)<0$$; при $$x>0$$ $$y'(x)>0$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty)$$, минимум при $$x=0$$:
$$y_{\min}=0+e^0=1$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$.
Наклонная асимптота при $$x\to+\infty$$: $$y=x$$.
Множество значений: $$E(y)=[1;+\infty)$$.
$$y=xe^x$$
$$y'(x)=e^x+xe^x=e^x(x+1)$$
Так как $$e^x>0$$, то $$y'(x)<0$$ при $$x<-1$$ и $$y'(x)>0$$ при $$x>-1$$.
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и возрастает на $$(-1;+\infty)$$, минимум при $$x=-1$$:
$$y_{\min}=-\frac{1}{e}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$.
Горизонтальная асимптота: $$y=0$$ при $$x\to-\infty$$.
Множество значений: $$E(y)=\left[-\frac{1}{e};+\infty\right)$$.
$$y=\frac{e^x}{x+1}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$.
$$y'(x)=\frac{e^x(x+1)-e^x}{(x+1)^2}=\frac{xe^x}{(x+1)^2}$$
Так как $$e^x>0$$ и $$(x+1)^2>0$$, знак производной совпадает со знаком $$x$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;0)$$, возрастает на $$(0;+\infty)$$.
Минимум при $$x=0$$:
$$y_{\min}=\frac{e^0}{0+1}=1$$
Асимптоты: $$x=-1$$ — вертикальная, $$y=0$$ — горизонтальная при $$x\to-\infty$$.
Множество значений: $$E(y)=(-\infty;0)\cup[1;+\infty)$$.
Ответ
1) а) максимум при $$x=1$$, минимум при $$x=15$$; б) минимум при $$x=-\frac12$$; в) максимум при $$x=-\frac35$$, минимум при $$x=\frac35$$; г) максимум при $$x=2$$, минимум при $$x=\frac72$$; д) минимум при $$x=3$$; е) максимум при $$x=-1$$, минимум при $$x=1$$.
2) а) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, возрастает на $$(-\infty;2)$$, убывает на $$(2;+\infty)$$, $$y_{\max}=\frac{1}{e^2}$$;
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0)$$, возрастает на $$(0;+\infty)$$, $$y_{\min}=1$$;
в) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1)$$, возрастает на $$(-1;+\infty)$$, $$y_{\min}=-\frac{1}{e}$$;
г) $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(-1;0)$$, возрастает на $$(0;+\infty)$$, $$y_{\min}=1$$.
