Упр.17.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) $$y=(x-4)^4+3$$;
г) $$y=(5-x)^4-1$$;
б) $$y=\sqrt{2x-3}+2$$;
д) $$y=\sqrt{3x-1}-2$$;
в) $$y=x-2\sqrt{x-5}$$;
е) $$y=x-4\sqrt{x-3}$$. - Задание учебника 2022 года. Исследуйте функцию и постройте её график:
а) $$y=\sqrt{x}-x$$;
в) $$y=x-\sqrt{x+1}$$;
б) $$y=x\sqrt{x+2}$$;
г) $$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x}$$.
Найдём точки экстремума.
а) $$y=(x-4)^4+3$$
$$y'(x)=4(x-4)^3$$
$$y'(x)=0 \iff x=4.$$
При $$x<4$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>4$$ — $$y'(x)>0$$. Значит, в точке $$x=4$$ функция имеет минимум.
$$y_{\min}=y(4)=3.$$
б) $$y=\sqrt{2x-3}+2$$
$$y'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-3}}.$$
На области определения $$x>\frac{3}{2}$$ производная положительна, поэтому функция возрастает и точек экстремума не имеет.
в) $$y=x-2\sqrt{x-5}$$
$$y'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x-5}}.$$
$$y'(x)=0 \iff \sqrt{x-5}=1 \iff x=6.$$
При $$5<x<6$$ производная отрицательна, при $$x>6$$ — положительна. Значит, в точке $$x=6$$ функция имеет минимум.
$$y_{\min}=y(6)=6-2\cdot 1=4.$$
г) $$y=(5-x)^4-1$$
$$y'(x)=-4(5-x)^3.$$
$$y'(x)=0 \iff x=5.$$
При $$x<5$$ производная отрицательна, при $$x>5$$ — положительна. Следовательно, в точке $$x=5$$ функция имеет минимум.
$$y_{\min}=y(5)=-1.$$
д) $$y=\sqrt{3x-1}-2$$
$$y'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}.$$
На области определения $$x>\frac{1}{3}$$ производная положительна, поэтому точек экстремума нет.
е) $$y=x-4\sqrt{x-3}$$
$$y'(x)=1-\frac{2}{\sqrt{x-3}}.$$
$$y'(x)=0 \iff \sqrt{x-3}=2 \iff x=7.$$
При $$3<x<7$$ производная отрицательна, при $$x>7$$ — положительна. Значит, в точке $$x=7$$ функция имеет минимум.
$$y_{\min}=y(7)=7-4\cdot 2=-1.$$
Исследуем функцию и построим график.
а) $$y=\sqrt{x}-x$$
$$D(y)=[0;+\infty).$$
$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1.$$
$$y'(x)=0 \iff \frac{1}{2\sqrt{x}}=1 \iff x=\frac14.$$
При $$0<x<\frac14$$ функция возрастает, при $$x>\frac14$$ убывает. Следовательно, максимум достигается при $$x=\frac14$$:
$$y_{\max}=\sqrt{\frac14}-\frac14=\frac12-\frac14=\frac14.$$
$$E(y)=(-\infty;\frac14].$$
б) $$y=x\sqrt{x+2}$$
$$D(y)=[-2;+\infty).$$
$$y'(x)=\sqrt{x+2}+\frac{x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}.$$
$$y'(x)=0 \iff 3x+4=0 \iff x=-\frac43.$$
При $$-2<x<-\frac43$$ функция убывает, при $$x>-\frac43$$ возрастает. Значит, в точке $$x=-\frac43$$ минимум:
$$y_{\min}=-\frac43\sqrt{\frac23}.$$
$$E(y)=\left[-\frac43\sqrt{\frac23};+\infty\right).$$
в) $$y=x-\sqrt{x+1}$$
$$D(y)=[-1;+\infty).$$
$$y'(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.$$
$$y'(x)=0 \iff 1=\frac{1}{2\sqrt{x+1}} \iff x=-\frac34.$$
При $$-1<x<-\frac34$$ функция убывает, при $$x>-\frac34$$ возрастает. Следовательно, минимум достигается при $$x=-\frac34$$:
$$y_{\min}=-\frac34-\sqrt{\frac14}=-\frac34-\frac12=-\frac54.$$
$$E(y)=\left[-\frac54;+\infty\right).$$
г) $$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x}$$
$$D(y)=[1;+\infty).$$
$$y'(x)=\frac{x}{2\sqrt{x-1}}-\sqrt{x-1}\over x^2=\frac{2-x}{2x^2\sqrt{x-1}}.$$
$$y'(x)=0 \iff x=2.$$
При $$1<x<2$$ функция возрастает, при $$x>2$$ убывает. Значит, в точке $$x=2$$ максимум:
$$y_{\max}=\frac{\sqrt{2-1}}{2}=\frac12.$$
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x-1}}{x}=0,$$
то есть $$y=0.$$
$$E(y)=(0;\tfrac12].$$
Ответ
1) а) $$x=4$$, минимум; б) точек экстремума нет; в) $$x=6$$, минимум; г) $$x=5$$, минимум; д) точек экстремума нет; е) $$x=7$$, минимум.
2) а) $$D=[0;+\infty),\ E=(-\infty;\frac14]$$; б) $$D=[-2;+\infty),\ E=\left[-\frac43\sqrt{\frac23};+\infty\right)$$; в) $$D=[-1;+\infty),\ E=\left[-\frac54;+\infty\right)$$; г) $$D=[1;+\infty),\ E=(0;\frac12]$$.
