Упр.17.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=x-4/x+3; г) y=x-1/x-12;
б) y=2x+8/x-14; д) y=7/x+x/7+4;
в) y=(x^2+16)/x; е) y=(x^2+36)/x. Исследуйте функцию и постройте её график:
а) y=x-1/x; в) y=x^3 /(3-x^2);
б) y=(1-x^2)/(4-x^2); г) y=x/(1-x^2).
Найдём точки экстремума.
а) $$y=x-\frac{4}{x}+3$$
$$y'(x)=1+\frac{4}{x^2}>0$$
Производная положительна при всех $$x\ne 0$$, значит, функция возрастает на каждом промежутке области определения. Точек экстремума нет.
Ответ: точек экстремума нет.
б) $$y=2x+\frac{8}{x}-14$$
$$y'(x)=2-\frac{8}{x^2}=\frac{2x^2-8}{x^2}=\frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}$$
$$y'(x)=0 \iff x=\pm 2$$
Знак производной:
$$y'(x)>0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>2,\qquad y'(x)<0 \text{ при } -2<x<0 \text{ и } 0<x<2$$
Значит, в точке $$x=-2$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.
$$y(-2)=2\cdot(-2)+\frac{8}{-2}-14=-4-4-14=-22$$
$$y(2)=2\cdot 2+\frac{8}{2}-14=4+4-14=-6$$
Ответ: максимум в точке $$(-2;\,-22)$$, минимум в точке $$ (2;\,-6)$$.
в) $$y=\frac{x^2+16}{x}=x+\frac{16}{x}$$
$$y'(x)=1-\frac{16}{x^2}=\frac{x^2-16}{x^2}=\frac{(x-4)(x+4)}{x^2}$$
$$y'(x)=0 \iff x=\pm 4$$
$$y'(x)>0 \text{ при } x<-4 \text{ и } x>4,\qquad y'(x)<0 \text{ при } -4<x<0 \text{ и } 0<x<4$$
Следовательно, в точке $$x=-4$$ — максимум, в точке $$x=4$$ — минимум.
$$y(-4)=-4+\frac{16}{-4}=-8$$
$$y(4)=4+\frac{16}{4}=8$$
Ответ: максимум в точке $$(-4;\,-8)$$, минимум в точке $$(4;\,8)$$.
г) $$y=x-\frac{1}{x}-12$$
$$y'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$$
Производная положительна при всех $$x\ne 0$$, значит, точек экстремума нет.
Ответ: точек экстремума нет.
д) $$y=\frac{7}{x}+\frac{x}{7}+4$$
$$y'(x)=-\frac{7}{x^2}+\frac{1}{7}=\frac{x^2-49}{7x^2}=\frac{(x-7)(x+7)}{7x^2}$$
$$y'(x)=0 \iff x=\pm 7$$
$$y'(x)>0 \text{ при } x<-7 \text{ и } x>7,\qquad y'(x)<0 \text{ при } -7<x<0 \text{ и } 0<x<7$$
Значит, в точке $$x=-7$$ — максимум, в точке $$x=7$$ — минимум.
$$y(-7)=\frac{7}{-7}+\frac{-7}{7}+4=-1-1+4=2$$
$$y(7)=\frac{7}{7}+\frac{7}{7}+4=1+1+4=6$$
Ответ: максимум в точке $$(-7;\,2)$$, минимум в точке $$(7;\,6)$$.
е) $$y=\frac{x^2+36}{x}=x+\frac{36}{x}$$
$$y'(x)=1-\frac{36}{x^2}=\frac{x^2-36}{x^2}=\frac{(x-6)(x+6)}{x^2}$$
$$y'(x)=0 \iff x=\pm 6$$
$$y'(x)>0 \text{ при } x<-6 \text{ и } x>6,\qquad y'(x)<0 \text{ при } -6<x<0 \text{ и } 0<x<6$$
Следовательно, в точке $$x=-6$$ — максимум, в точке $$x=6$$ — минимум.
$$y(-6)=-6+\frac{36}{-6}=-12$$
$$y(6)=6+\frac{36}{6}=12$$
Ответ: максимум в точке $$(-6;\,-12)$$, минимум в точке $$(6;\,12)$$.
Ход решения
Исследуем и построим график функции.
а) $$y=x-\frac{1}{x}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
Функция нечётная, так как
$$y(-x)=-x+\frac{1}{x}=-y(x)$$
$$y'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$$
Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$.
Асимптоты:
$$x=0,\qquad y=x$$
Множество значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$.
б) $$y=\frac{1-x^2}{4-x^2}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$.
Функция чётная, так как
$$y(-x)=\frac{1-(-x)^2}{4-(-x)^2}=\frac{1-x^2}{4-x^2}=y(x)$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{-2x(4-x^2)+2x(1-x^2)}{(4-x^2)^2}=\frac{-6x}{(4-x^2)^2}$$
$$y'(x)>0 \text{ при } x<0,\qquad y'(x)<0 \text{ при } x>0$$
Следовательно, в точке $$x=0$$ — максимум:
$$y(0)=\frac{1}{4}$$
Асимптоты:
$$y=1,\qquad x=\pm 2$$
Множество значений: $$E(y)=(-\infty;1)\cup\left[\frac14;+\infty\right)$$.
в) $$y=\frac{x^3}{3-x^2}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;-\sqrt3)\cup(-\sqrt3;\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty)$$.
Производная:
$$y'(x)=\frac{3x^2(3-x^2)+2x\cdot x^3}{(3-x^2)^2}=\frac{3x^2(3-x^2)+2x^4}{(3-x^2)^2}$$
$$y'(x)=\frac{x^2(9-x^2)}{(3-x^2)^2}$$
$$y'(x)=0 \iff x=0,\ \pm 3$$
Знак производной показывает, что функция возрастает на $$(-3;3)$$ и убывает вне этого промежутка с учётом разрывов.
Точки экстремума:
$$x_{\min}=-3,\quad y(-3)=\frac{-27}{3-9}=\frac92$$
$$x_{\max}=3,\quad y(3)=\frac{27}{3-9}=-\frac92$$
Асимптоты:
$$x=\pm\sqrt3,\qquad y=-x$$
г) $$y=\frac{x}{1-x^2}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$.
Производная:
$$y'(x)=\frac{(1-x^2)+2x^2}{(1-x^2)^2}=\frac{1+x^2}{(1-x^2)^2}>0$$
Значит, функция возрастает на каждом промежутке области определения.
Асимптоты:
$$y=0,\qquad x=\pm 1$$
Множество значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$.
Ответ
Точки экстремума:
а) нет; б) максимум $$(-2;\,-22)$$, минимум $$(2;\,-6)$$; в) максимум $$(-4;\,-8)$$, минимум $$(4;\,8)$$; г) нет; д) максимум $$(-7;\,2)$$, минимум $$(7;\,6)$$; е) максимум $$(-6;\,-12)$$, минимум $$(6;\,12)$$.
Графики функций построены по найденным свойствам: области определения, чётности/нечётности, промежуткам возрастания и убывания, асимптотам и точкам экстремума.
