Упр.17.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: а) $$y=3x^2-9x+4$$; г) $$y=7x-3x^2-2$$; б) $$y=x^3+4x^2-3x$$; д) $$y=x^3+3x^2-24x$$; в) $$y=x^4-8x^2+9$$; е) $$y=2x^4-8x^2-11$$.
- Задание учебника 2022 года. Исследуйте функцию и постройте её график: а) $$y=x^3-4x^2+7x-4$$; г) $$y=x^3-3x^2+8x-6$$; б) $$y=x^2+1-0{,}5x^4$$; д) $$y=5x^2-4-2{,}5x^4$$; в) $$y=3x^5-5x^3$$; е) $$y=5x-x^5$$.
Найдём точки экстремума. Для этого вычислим производную и исследуем её знак.
а) $$y=3x^2-9x+4$$
$$y'(x)=6x-9$$
$$6x-9=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то в точке $$x=\frac{3}{2}$$ — минимум.
$$y\!\left(\frac{3}{2}\right)=3\cdot\frac{9}{4}-9\cdot\frac{3}{2}+4=-\frac{11}{4}$$
б) $$y=x^3+4x^2-3x$$
$$y'(x)=3x^2+8x-3$$
$$3x^2+8x-3=0$$
$$D=8^2-4\cdot 3\cdot(-3)=100$$
$$x_1=\frac{-8-10}{6}=-3,\qquad x_2=\frac{-8+10}{6}=\frac13$$
Поскольку парабола $$y’$$ направлена вверх, то в точке $$x=-3$$ — максимум, а в точке $$x=\frac13$$ — минимум.
$$y(-3)=27+36+9=72,\qquad y\!\left(\frac13\right)=\frac1{27}+\frac4{9}-1=-\frac{14}{27}$$
в) $$y=x^4-8x^2+9$$
$$y'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$
Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2$$.
По знакам производной: в точках $$x=-2$$ и $$x=2$$ — минимумы, в точке $$x=0$$ — максимум.
$$y(-2)=16-32+9=-7,\qquad y(0)=9,\qquad y(2)=-7$$
г) $$y=7x-3x^2-2$$
$$y'(x)=7-6x$$
$$7-6x=0 \Rightarrow x=\frac76$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, в точке $$x=\frac76$$ — максимум.
$$y\!\left(\frac76\right)=7\cdot\frac76-3\cdot\frac{49}{36}-2=\frac{25}{12}$$
д) $$y=x^3+3x^2-24x$$
$$y'(x)=3x^2+6x-24=3(x^2+2x-8)=3(x+4)(x-2)$$
Критические точки: $$x=-4,\;2$$.
По знакам производной: в точке $$x=-4$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.
$$y(-4)=-64+48+96=80,\qquad y(2)=8+12-48=-28$$
е) $$y=2x^4-8x^2-11$$
$$y'(x)=8x^3-16x=8x(x^2-2)=8x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$$
Критические точки: $$x=-\sqrt2,\;0,\;\sqrt2$$.
По знакам производной: в точках $$x=\pm\sqrt2$$ — минимумы, в точке $$x=0$$ — максимум.
$$y(\pm\sqrt2)=2\cdot 4-8\cdot 2-11=-19,\qquad y(0)=-11$$
Исследуем функцию и строим график.
а) $$y=x^3-4x^2+7x-4$$
$$y'(x)=3x^2-8x+7$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot 7=64-84=-20<0$$
Так как $$3>0$$ и дискриминант отрицателен, то $$y'(x)>0$$ при всех $$x$$. Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$ и экстремумов не имеет.
Для построения графика удобно отметить точку пересечения с осью $$Oy$$: $$y(0)=-4$$.
б) $$y=x^2+1-0{,}5x^4$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=y(x)$$.
$$y'(x)=2x-2x^3=2x(1-x^2)=2x(1-x)(1+x)$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1$$.
Знаки производной: функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(0;1)$$, убывает на $$(-1;0)$$ и $$(1;+\infty)$$.
$$y(0)=1,\qquad y(\pm 1)=1+1-0{,}5=\frac32$$
Значит, минимумы: $$x=0,\; y=1$$; максимумы: $$x=\pm 1,\; y=\frac32$$.
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, множество значений: $$E(y)=(-\infty;\frac32]$$.
в) $$y=3x^5-5x^3$$
Функция нечётная, так как $$y(-x)=-y(x)$$.
$$y'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)=15x^2(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1$$.
Функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty)$$, убывает на $$(-1;1)$$.
$$y(-1)=2,\qquad y(1)=-2,\qquad y(0)=0$$
Следовательно, максимум в точке $$(-1;2)$$, минимум в точке $$(1;-2)$$.
г) $$y=x^3-3x^2+8x-6$$
$$y'(x)=3x^2-6x+8$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 8=36-96=-60<0$$
Так как $$3>0$$, то $$y'(x)>0$$ при всех $$x$$. Функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, экстремумов не имеет.
$$y(0)=-6$$
д) $$y=5x^2-4-2{,}5x^4$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=y(x)$$.
$$y'(x)=10x-10x^3=10x(1-x^2)=10x(1-x)(1+x)$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1$$.
Функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(0;1)$$, убывает на $$(-1;0)$$ и $$(1;+\infty)$$.
$$y(0)=-4,\qquad y(\pm 1)=5-4-2{,}5=-1{,}5$$
Следовательно, максимум в точках $$(-1;-1{,}5)$$ и $$(1;-1{,}5)$$, минимум в точке $$(0;-4)$$.
Область значений: $$E(y)=(-\infty;-1{,}5]$$.
е) $$y=5x-x^5$$
Функция нечётная, так как $$y(-x)=-y(x)$$.
$$y'(x)=5-5x^4=5(1-x^4)=5(1-x^2)(1+x^2)$$
Критические точки: $$x=-1,\;1$$.
Функция возрастает на $$(-1;1)$$, убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty)$$.
$$y(-1)=-4,\qquad y(1)=4$$
Следовательно, минимум в точке $$(-1;-4)$$, максимум в точке $$(1;4)$$.
Ответ
1) а) минимум при $$x=\frac32$$, $$y_{\min}=-\frac{11}{4}$$; б) максимум при $$x=-3$$, $$y_{\max}=72$$, минимум при $$x=\frac13$$, $$y_{\min}=-\frac{14}{27}$$; в) минимумы при $$x=\pm 2$$, $$y_{\min}=-7$$, максимум при $$x=0$$, $$y_{\max}=9$$; г) максимум при $$x=\frac76$$, $$y_{\max}=\frac{25}{12}$$; д) максимум при $$x=-4$$, $$y_{\max}=80$$, минимум при $$x=2$$, $$y_{\min}=-28$$; е) минимумы при $$x=\pm\sqrt2$$, $$y_{\min}=-19$$, максимум при $$x=0$$, $$y_{\max}=-11$$.
2) а) функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, экстремумов нет; б) возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(0;1)$$, убывает на $$(-1;0)$$ и $$(1;+\infty)$$, $$E(y)=(-\infty;\frac32]$$; в) возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty)$$, убывает на $$(-1;1)$$, максимум $$(-1;2)$$, минимум $$(1;-2)$$; г) функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$, экстремумов нет; д) возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(0;1)$$, убывает на $$(-1;0)$$ и $$(1;+\infty)$$, $$E(y)=(-\infty;-1{,}5]$$; е) возрастает на $$(-1;1)$$, убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty)$$, минимум $$(-1;-4)$$, максимум $$(1;4)$$.
