Упр.17.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
1) чётная функция может иметь только одну точку экстремума;
2) если нечётная функция имеет точку максимума, то она имеет и точку минимума;
3) периодическая функция имеет не более трёх точек экстремума;
4) нечётная функция может иметь две точки экстремума;
5) если чётная функция имеет точку минимума, то она имеет и точку максимума;
6) монотонная функция может иметь единственную точку экстремума. Исследуйте функцию и постройте её график:
а) y=x^3+3x^2-4; г) y=x^3-3x^2+4;
б) y=-x^3+3x^2-4; д) y=-x^3-3x^2+4;
в) y=x^3-x^2-x; е) y=x^3-2x^2+x.
1) Для чётной функции точки экстремума, если они есть, располагаются симметрично относительно оси $$Oy$$. Поэтому одна точка экстремума возможна только в случае, когда она лежит на оси $$Oy$$, то есть при $$x=0$$. Высказывание истинно.
2) Для нечётной функции график симметричен относительно начала координат. Если в точке $$x=a$$ есть максимум, то в симметричной точке $$x=-a$$ будет минимум. Высказывание истинно.
3) Периодическая функция может иметь как конечное, так и бесконечное число точек экстремума, поэтому утверждение «не более трёх» неверно. Высказывание ложно.
4) У нечётной функции точки экстремума, если они есть, также располагаются симметрично относительно начала координат, значит их может быть две: $$x=a$$ и $$x=-a$$. Высказывание истинно.
5) У чётной функции точка минимума не обязана сопровождаться точкой максимума. Например, $$y=x^2$$ имеет только минимум. Высказывание ложно.
6) Монотонная функция не имеет точек экстремума. Высказывание ложно.
Истинные высказывания: $$1, 2, 4$$.
Исследуем функции с помощью производной.
а) $$y=x^3+3x^2-4$$
$$y’=3x^2+6x=3x(x+2)$$
$$y’=0 \iff x=-2,\; x=0$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>0,\qquad y'<0 \text{ при } -2<x<0$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-2)$$ и $$ (0,+\infty)$$, убывает на $$(-2,0)$$.
Точки экстремума:
$$x=-2,\quad y(-2)=-8+12-4=0$$
$$x=0,\quad y(0)=-4$$
Максимум в точке $$(-2,0)$$, минимум в точке $$(0,-4)$$.
б) $$y=-x^3+3x^2-4$$
$$y’=-3x^2+6x=-3x(x-2)$$
$$y’=0 \iff x=0,\; x=2$$
$$y’>0 \text{ при } 0<x<2,\qquad y'<0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>2$$
Функция возрастает на $$ (0,2)$$, убывает на $$(-\infty,0)$$ и $$ (2,+\infty)$$.
Точки экстремума:
$$x=0,\quad y(0)=-4$$
$$x=2,\quad y(2)=-8+12-4=0$$
Минимум в точке $$(0,-4)$$, максимум в точке $$(2,0)$$.
в) $$y=x^3-x^2-x$$
$$y’=3x^2-2x-1$$
$$3x^2-2x-1=0$$
$$D=4+12=16,\qquad x_1=-\frac13,\; x_2=1$$
$$y’=(3x+1)(x-1)$$
$$y’>0 \text{ при } x<-\frac13 \text{ и } x>1,\qquad y'<0 \text{ при } -\frac13<x<1$$
Функция возрастает на $$(-\infty,-\frac13)$$ и $$ (1,+\infty)$$, убывает на $$(-\frac13,1)$$.
Точки экстремума:
$$x=-\frac13,\quad y\!\left(-\frac13\right)=-\frac1{27}-\frac19+\frac13=\frac5{27}$$
$$x=1,\quad y(1)=1-1-1=-1$$
Максимум в точке $$\left(-\frac13,\frac5{27}\right)$$, минимум в точке $$(1,-1)$$.
г) $$y=x^3-3x^2+4$$
$$y’=3x^2-6x=3x(x-2)$$
$$y’=0 \iff x=0,\; x=2$$
$$y’>0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>2,\qquad y'<0 \text{ при } 0<x<2$$
Функция возрастает на $$(-\infty,0)$$ и $$ (2,+\infty)$$, убывает на $$ (0,2)$$.
Точки экстремума:
$$x=0,\quad y(0)=4$$
$$x=2,\quad y(2)=8-12+4=0$$
Максимум в точке $$(0,4)$$, минимум в точке $$(2,0)$$.
д) $$y=-x^3-3x^2+4$$
$$y’=-3x^2-6x=-3x(x+2)$$
$$y’=0 \iff x=-2,\; x=0$$
$$y’>0 \text{ при } -2<x<0,\qquad y'<0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>0$$
Функция возрастает на $$(-2,0)$$, убывает на $$(-\infty,-2)$$ и $$ (0,+\infty)$$.
Точки экстремума:
$$x=-2,\quad y(-2)=8-12+4=0$$
$$x=0,\quad y(0)=4$$
Минимум в точке $$(-2,0)$$, максимум в точке $$(0,4)$$.
е) $$y=x^3-2x^2+x$$
$$y’=3x^2-4x+1$$
$$3x^2-4x+1=0$$
$$D=16-12=4,\qquad x_1=\frac13,\; x_2=1$$
$$y’=(3x-1)(x-1)$$
$$y’>0 \text{ при } x<\frac13 \text{ и } x>1,\qquad y'<0 \text{ при } \frac13<x<1$$
Функция возрастает на $$(-\infty,\frac13)$$ и $$ (1,+\infty)$$, убывает на $$ (\frac13,1)$$.
Точки экстремума:
$$x=\frac13,\quad y\!\left(\frac13\right)=\frac1{27}-\frac2{9}+\frac13=\frac4{27}$$
$$x=1,\quad y(1)=1-2+1=0$$
Максимум в точке $$\left(\frac13,\frac4{27}\right)$$, минимум в точке $$(1,0)$$.
Ответ
Истинные высказывания: $$1, 2, 4$$.
а) максимум $$(-2,0)$$, минимум $$(0,-4)$$; б) минимум $$(0,-4)$$, максимум $$(2,0)$$; в) максимум $$\left(-\frac13,\frac5{27}\right)$$, минимум $$(1,-1)$$; г) максимум $$(0,4)$$, минимум $$(2,0)$$; д) минимум $$(-2,0)$$, максимум $$(0,4)$$; е) максимум $$\left(\frac13,\frac4{27}\right)$$, минимум $$(1,0)$$.
