Упр.17.4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале (—9; 7), имеющей в точках х=—8 и х=3 две точки максимума, а в точках х=—5 и х=0 две точки минимума, наибольшее значение на этом интервале, равное 7, но не имеющей на этом интервале наименьшего значения. Исследуйте функцию и постройте её график:
а) y=5x^2-10x+4; в) y=3x^2-8x+5;
б) y=2x^3-3x^2; г) y=2x^3+3x^2.
а) На интервале $$(-7;8)$$ функция должна иметь максимум при $$x=1$$ и минимумы при $$x=-4$$ и $$x=6$$. Значит, график сначала убывает до $$x=-4$$, затем возрастает до $$x=1$$, потом снова убывает до $$x=6$$ и после этого возрастает. Так как на концах интервала значения не достигаются, наибольшего и наименьшего значений на этом интервале нет.
б) На интервале $$(-9;7)$$ функция должна иметь максимумы при $$x=-8$$ и $$x=3$$, минимумы при $$x=-5$$ и $$x=0$$. Наибольшее значение равно $$7$$, а наименьшего значения нет. Значит, график можно построить так, чтобы наибольшая вершина имела ординату $$7$$, а к концам интервала функция не достигала минимума.
а) $$y=5x^2-10x+4$$
Найдём производную:
$$y’ = 10x-10 = 10(x-1).$$
Критическая точка:
$$10(x-1)=0 \Rightarrow x=1.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, парабола направлена ветвями вверх, значит в точке $$x=1$$ — минимум.
Найдём значение функции в вершине:
$$y(1)=5\cdot 1^2-10\cdot 1+4=-1.$$
Следовательно, вершина параболы: $$\left(1;-1\right)$$.
Для построения удобно отметить ещё точки пересечения с осями:
$$5x^2-10x+4=0,$$
$$D=100-80=20,$$
$$x=\frac{10\pm\sqrt{20}}{10}=1\pm\frac{\sqrt5}{5}.$$
При $$x=0$$ получаем $$y=4$$.
б) $$y=2x^3-3x^2$$
Найдём производную:
$$y’ = 6x^2-6x = 6x(x-1).$$
Критические точки:
$$6x(x-1)=0 \Rightarrow x=0,\; x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>1,$$
$$y'<0 \text{ при } 0<x<1.$$
Значит, в точке $$x=0$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.
Найдём значения функции:
$$y(0)=0,$$
$$y(1)=2-3=-1.$$
Точки экстремума: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;-1\right)$$.
в) $$y=3x^2-8x+5$$
Найдём производную:
$$y’ = 6x-8.$$
Критическая точка:
$$6x-8=0 \Rightarrow x=\frac43.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, в этой точке — минимум.
Найдём значение функции:
$$y\left(\frac43\right)=3\cdot\frac{16}{9}-8\cdot\frac43+5=\frac{16}{3}-\frac{32}{3}+5=-\frac13.$$
Вершина параболы: $$\left(\frac43;-\frac13\right)$$.
г) $$y=2x^3+3x^2$$
Найдём производную:
$$y’ = 6x^2+6x = 6x(x+1).$$
Критические точки:
$$6x(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=0.$$
Исследуем знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>0,$$
$$y'<0 \text{ при } -1<x<0.$$
Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, а в точке $$x=0$$ — минимум.
Найдём значения функции:
$$y(-1)=2(-1)^3+3(-1)^2=-2+3=1,$$
$$y(0)=0.$$
Точки экстремума: $$\left(-1;1\right)$$ и $$\left(0;0\right)$$.
Ответ
а) Эскиз графика с максимумом при $$x=1$$ и минимумами при $$x=-4$$, $$x=6$$; наибольшего и наименьшего значений нет.
б) Эскиз графика с максимумами при $$x=-8$$ и $$x=3$$, минимумами при $$x=-5$$ и $$x=0$$; наибольшее значение равно $$7$$, наименьшего нет.
а) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[-1;+\infty),\ \left(1;-1\right)$$.
б) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),\ \left(0;0\right),\ \left(1;-1\right)$$.
в) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[-\frac13;+\infty\right),\ \left(\frac43;-\frac13\right)$$.
г) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),\ \left(-1;1\right),\ \left(0;0\right)$$.
