Упр.17.3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) промежутки возрастания функции y=f(x);
б) точки максимума функции y=f(x);
в) стационарные точки функции y=f(x);
г) промежутки убывания функции y=f(x);
д) точки минимума функции y=f(x);
е) критические точки функции y=f(x). Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:
а) Функция определена на всей числовой прямой; чётная; при х>0 имеет одну точку максимума при х=22 и одну точку минимума при x=4; не ограничена.
б) Функция определена на всей числовой прямой; нечётная; при х>0 имеет одну точку максимума при х=1 и одну точку минимума при х=5.

Подробный ответ

По таблице знаков производной:

$$f'(x)>0$$ на промежутке $$[-4;1]$$, значит функция возрастает на $$[-4;1]$$;
$$f'(x)<0$$ на промежутках $$(-\infty;-4]$$ и $$[1;3]$$, значит функция убывает на $$(-\infty;-4]\cup[1;3]$$;
в точке $$x=-1$$ производная равна нулю, но знак производной не меняется, значит это стационарная точка;
в точке $$x=1$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит это точка минимума;
в точке $$x=-4$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит это точка минимума и критическая точка.

Для эскиза графика достаточно указать свойства функции и расположение экстремумов. Возможны разные варианты графика, удовлетворяющие условиям.

а) Функция определена на всей числовой прямой, чётная, при $$x>0$$ имеет одну точку максимума при $$x=2$$ и одну точку минимума при $$x=4$$, не ограничена. Тогда график должен быть симметричен относительно оси $$Oy$$, иметь максимум в точках $$x=\pm 2$$ и минимум в точках $$x=\pm 4$$, при этом уходить вверх при больших $$|x|$$.

б) Функция определена на всей числовой прямой, нечётная, при $$x>0$$ имеет одну точку максимума при $$x=1$$ и одну точку минимума при $$x=5$$. Тогда график должен быть симметричен относительно начала координат; соответствующие точки на отрицательной полуоси будут точками минимума и максимума соответственно.