Упр.17.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Найдите все значения параметра $$p$$, при которых данное уравнение имеет три различных корня:
а) $$3|x-p|+12x=x^2+36$$;
б) $$5|x+p|-9=x^2+6x$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$3|x-p|+12x=x^2+36.$$

Перенесём слагаемые и выделим полный квадрат:

$$3|x-p|=x^2-12x+36=(x-6)^2.$$

Далее рассматриваем два случая.

1) Если $$x-p\ge 0,$$ то $$|x-p|=x-p,$$ и получаем

$$3(x-p)=(x-6)^2,$$

$$x^2-15x+(36+3p)=0.$$

Чтобы это уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным:

$$D=15^2-4(36+3p)>0,$$

$$225-144-12p>0,$$

$$81-12p>0,$$

$$p<\frac{27}{4}.$$

2) Если $$x-p<0,$$ то $$|x-p|=p-x,$$ и получаем

$$3(p-x)=(x-6)^2,$$

$$x^2-9x+(36-3p)=0.$$

Для двух различных корней:

$$D=9^2-4(36-3p)>0,$$

$$81-144+12p>0,$$

$$12p>63,$$

$$p>\frac{21}{4}.$$

Кроме того, на границе случаев должен быть корень при $$x=p,$$ тогда

$$3|p-p|+12p=p^2+36,$$

$$p^2-12p+36=0,$$

$$(p-6)^2=0,$$

$$p=6.$$

Итак, уравнение имеет три различных корня при

$$p=\frac{21}{4},\ 6,\ \frac{27}{4}.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$5|x+p|-9=x^2+6x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$5|x+p|=x^2+6x+9=(x+3)^2.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x+p\ge 0,$$ то $$|x+p|=x+p,$$ и

$$5(x+p)=(x+3)^2,$$

$$x^2+x+(9-5p)=0.$$

Для двух различных корней:

$$D=1-4(9-5p)>0,$$

$$1-36+20p>0,$$

$$20p>35,$$

$$p>\frac{7}{4}.$$

2) Если $$x+p<0,$$ то $$|x+p|=-(x+p),$$ и

$$-5(x+p)=(x+3)^2,$$

$$x^2+11x+(9+5p)=0.$$

Для двух различных корней:

$$D=11^2-4(9+5p)>0,$$

$$121-36-20p>0,$$

$$20p<85,$$

$$p<\frac{17}{4}.$$

Граница между случаями даёт корень при $$x=-p,$$ тогда

$$5|{-p+p}|-9=p^2-6p,$$

$$p^2-6p+9=0,$$

$$(p-3)^2=0,$$

$$p=3.$$

Следовательно, три различных корня получаются при

$$p=\frac{7}{4},\ 3,\ \frac{17}{4}.$$

Ответ

а) $$p=\frac{21}{4},\ 6,\ \frac{27}{4}.$$

б) $$p=\frac{7}{4},\ 3,\ \frac{17}{4}.$$