Упр.17.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) x x^(1/4)=2-x x^(1/6); г) 4x^(4/5)=5-x x^(1/3);
б) 0,5x^(1/3)=(x-7)^(-0,3); д) 0,5x^(1/5)=(x-31)^(-1,3);
в) 1/x^(1/5)=x^(2/3) /7+6/7; е) x^(5/7)=3/(5x^(2/3))+0,4.

Подробный ответ

а) $$x\sqrt[4]{x}=2-x\sqrt[6]{x}$$
Рассмотрим функции $$f(x)=x\sqrt[4]{x}$$ и $$g(x)=2-x\sqrt[6]{x}$$ на области определения $$x\ge 0$$. Первая функция возрастает, вторая убывает, значит, уравнение имеет единственное решение.
Проверим $$x=1$$:
$$1\cdot \sqrt[4]{1}=1,\qquad 2-1\cdot \sqrt[6]{1}=1.$$
Следовательно, $$x=1$$.
б) $$0{,}5\sqrt[3]{x}=(x-7)^{-0{,}3}$$
Область определения: $$x>7$$. Функция $$f(x)=0{,}5\sqrt[3]{x}$$ возрастает, а $$g(x)=(x-7)^{-0{,}3}$$ убывает на своей области определения, значит, решение единственно.
Проверим $$x=8$$:
$$0{,}5\sqrt[3]{8}=0{,}5\cdot 2=1,\qquad (8-7)^{-0{,}3}=1^{-0{,}3}=1.$$
Следовательно, $$x=8$$.
в) $$\frac{1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{7}+\frac{6}{7}$$
Область определения: $$x>0$$. Функция $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$$ убывает, а $$g(x)=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{7}+\frac{6}{7}$$ возрастает, значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$\frac{1}{\sqrt[5]{1}}=1,\qquad \frac{\sqrt[3]{1^2}}{7}+\frac{6}{7}=\frac{1}{7}+\frac{6}{7}=1.$$
Следовательно, $$x=1$$.
г) $$4\sqrt[4]{x^5}=5-x\sqrt[3]{x}$$
На области определения $$x\ge 0$$ функция $$f(x)=4\sqrt[4]{x^5}$$ возрастает, а $$g(x)=5-x\sqrt[3]{x}$$ убывает, значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$4\sqrt[4]{1^5}=4,\qquad 5-1\cdot \sqrt[3]{1}=4.$$
Следовательно, $$x=1$$.
д) $$0{,}5\sqrt[5]{x}=(x-31)^{-1{,}3}$$
Область определения: $$x>31$$. Функция $$f(x)=0{,}5\sqrt[5]{x}$$ возрастает, а $$g(x)=(x-31)^{-1{,}3}$$ убывает, значит, решение единственно.
Проверим $$x=32$$:
$$0{,}5\sqrt[5]{32}=0{,}5\cdot 2=1,\qquad (32-31)^{-1{,}3}=1^{-1{,}3}=1.$$
Следовательно, $$x=32$$.
е) $$\sqrt[7]{x^5}=\frac{3}{5\sqrt[3]{x^2}}+0{,}4$$
Область определения: $$x>0$$. Функция $$f(x)=\sqrt[7]{x^5}$$ возрастает, а $$g(x)=\frac{3}{5\sqrt[3]{x^2}}+0{,}4$$ убывает, значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$\sqrt[7]{1^5}=1,\qquad \frac{3}{5\sqrt[3]{1^2}}+0{,}4=\frac{3}{5}+0{,}4=1.$$
Следовательно, $$x=1$$.