Упр.17.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

• а) $$x\,x^{1/4}=2-x\,x^{1/6}$$; б) $$0{,}5x^{1/3}=\left(x-7\right)^{-0{,}3}$$; в) $$\frac{1}{x^{1/5}}=\frac{x^{2/3}}{7}+\frac{6}{7}$$; г) $$4x^{4/5}=5-x\,x^{1/3}$$; д) $$0{,}5x^{1/5}=\left(x-31\right)^{-1{,}3}$$; е) $$x^{5/7}=\frac{3}{5x^{2/3}}+0{,}4$$.

1. а) $$x\sqrt[4]{x}=2-x\sqrt[6]{x}$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=x\sqrt[4]{x}$$ и $$g(x)=2-x\sqrt[6]{x}$$ на области определения $$x\ge 0$$. Первая функция возрастает, вторая убывает, значит, уравнение имеет единственное решение.

   Проверим $$x=1$$:

   $$1\cdot \sqrt[4]{1}=1,\qquad 2-1\cdot \sqrt[6]{1}=1.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

2. б) $$0{,}5\sqrt[3]{x}=(x-7)^{-0{,}3}$$

   Область определения: $$x>7$$. Функция $$f(x)=0{,}5\sqrt[3]{x}$$ возрастает, а $$g(x)=(x-7)^{-0{,}3}$$ убывает на своей области определения, значит, решение единственно.

   Проверим $$x=8$$:

   $$0{,}5\sqrt[3]{8}=0{,}5\cdot 2=1,\qquad (8-7)^{-0{,}3}=1^{-0{,}3}=1.$$

   Следовательно, $$x=8$$.

3. в) $$\frac{1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{7}+\frac{6}{7}$$

   Область определения: $$x>0$$. Функция $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$$ убывает, а $$g(x)=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{7}+\frac{6}{7}$$ возрастает, значит, решение единственно.

   Проверим $$x=1$$:

   $$\frac{1}{\sqrt[5]{1}}=1,\qquad \frac{\sqrt[3]{1^2}}{7}+\frac{6}{7}=\frac{1}{7}+\frac{6}{7}=1.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

4. г) $$4\sqrt[4]{x^5}=5-x\sqrt[3]{x}$$

   На области определения $$x\ge 0$$ функция $$f(x)=4\sqrt[4]{x^5}$$ возрастает, а $$g(x)=5-x\sqrt[3]{x}$$ убывает, значит, решение единственно.

   Проверим $$x=1$$:

   $$4\sqrt[4]{1^5}=4,\qquad 5-1\cdot \sqrt[3]{1}=4.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

5. д) $$0{,}5\sqrt[5]{x}=(x-31)^{-1{,}3}$$

   Область определения: $$x>31$$. Функция $$f(x)=0{,}5\sqrt[5]{x}$$ возрастает, а $$g(x)=(x-31)^{-1{,}3}$$ убывает, значит, решение единственно.

   Проверим $$x=32$$:

   $$0{,}5\sqrt[5]{32}=0{,}5\cdot 2=1,\qquad (32-31)^{-1{,}3}=1^{-1{,}3}=1.$$

   Следовательно, $$x=32$$.

6. е) $$\sqrt[7]{x^5}=\frac{3}{5\sqrt[3]{x^2}}+0{,}4$$

   Область определения: $$x>0$$. Функция $$f(x)=\sqrt[7]{x^5}$$ возрастает, а $$g(x)=\frac{3}{5\sqrt[3]{x^2}}+0{,}4$$ убывает, значит, решение единственно.

   Проверим $$x=1$$:

   $$\sqrt[7]{1^5}=1,\qquad \frac{3}{5\sqrt[3]{1^2}}+0{,}4=\frac{3}{5}+0{,}4=1.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$8$$; в) $$1$$; г) $$1$$; д) $$32$$; е) $$1$$.