Упр.17.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а)

$$y=5\sin^2 x+\cos 2x$$
$$y=5\sin^2 x+2\cos^2 x-1$$
$$y=5\sin^2 x+2(1-\sin^2 x)-1$$
$$y=1+3\sin^2 x$$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то
$$1\le 1+3\sin^2 x\le 4.$$

Ответ: $$E(y)=[1;4].$$

б)

$$y=2\cos 2x-3\cos x$$
$$y=2(2\cos^2 x-1)-3\cos x$$
$$y=4\cos^2 x-3\cos x-2.$$

Обозначим $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и

$$y=4t^2-3t-2.$$

Парабола ветвями вверх, её вершина при

$$t_0=\frac{3}{8}.$$

$$y\!\left(\frac{3}{8}\right)=4\cdot\frac{9}{64}-3\cdot\frac{3}{8}-2 =\frac{9}{16}-\frac{9}{8}-2=-\frac{41}{16}.$$

На концах отрезка:

$$y(-1)=4+3-2=5,$$
$$y(1)=4-3-2=-1.$$

Значит, $$E(y)=\left[-\frac{41}{16};\,5\right].$$

Ответ: $$E(y)=\left[-\frac{41}{16};\,5\right].$$

в)

$$y=\sin x+\cos x$$
$$y=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)$$
$$y=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x+\sin\frac{\pi}{4}\cos x\right)$$
$$y=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то
$$-\sqrt2\le y\le \sqrt2.$$

Ответ: $$E(y)=[-\sqrt2;\,\sqrt2].$$

г)

$$y=2\cos 2x-7\sin^2 x$$
$$y=2(2\cos^2 x-1)-7\sin^2 x$$
$$y=4\cos^2 x-2-7\sin^2 x$$
$$y=4(1-\sin^2 x)-2-7\sin^2 x$$
$$y=2-11\sin^2 x.$$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то
$$-11\le -11\sin^2 x\le 0,$$
значит
$$-9\le 2-11\sin^2 x\le 2.$$

Ответ: $$E(y)=[-9;\,2].$$

д)

$$y=3\sin x+4\cos^2 x$$
$$y=3\sin x+4-4\sin^2 x.$$

Обозначим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и

$$y=-4t^2+3t+4.$$

Парабола ветвями вниз, вершина при

$$t_0=\frac{3}{8}.$$

$$y\!\left(\frac{3}{8}\right)=-4\cdot\frac{9}{64}+3\cdot\frac{3}{8}+4 =-\frac{9}{16}+\frac{9}{8}+4=\frac{73}{16}=4\frac{9}{16}.$$

На концах отрезка:

$$y(-1)=-3+4-4=-3,$$
$$y(1)=3+4-4=3.$$

Следовательно, $$E(y)=\left[-3;\,\frac{73}{16}\right].$$

Ответ: $$E(y)=\left[-3;\,\frac{73}{16}\right].$$

е)

$$y=\sin x-\cos x$$
$$y=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)$$
$$y=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x\right)$$
$$y=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то
$$-\sqrt2\le y\le \sqrt2.$$

Ответ: $$E(y)=[-\sqrt2;\,\sqrt2].$$