Упр.17.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y=5sin^2(x)+cos(2x); г) y=2cos(2x)-7sin^2(x);
б) y=2cos(2x)-3cos(x); д) y=3sin(x)+4cos^2(x);
в) y=sin(x)+cos(x); е) y=sin(x)-cos(x).

1. а)

   $$y=5\sin^2 x+\cos 2x$$
   $$y=5\sin^2 x+2\cos^2 x-1$$
   $$y=5\sin^2 x+2(1-\sin^2 x)-1$$
   $$y=1+3\sin^2 x$$

   Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то
   $$1\le 1+3\sin^2 x\le 4.$$

   Ответ: $$E(y)=[1;4].$$

2. б)

   $$y=2\cos 2x-3\cos x$$
   $$y=2(2\cos^2 x-1)-3\cos x$$
   $$y=4\cos^2 x-3\cos x-2.$$

   Обозначим $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и

   $$y=4t^2-3t-2.$$

   Парабола ветвями вверх, её вершина при

   $$t_0=\frac{3}{8}.$$

   $$y\!\left(\frac{3}{8}\right)=4\cdot\frac{9}{64}-3\cdot\frac{3}{8}-2 =\frac{9}{16}-\frac{9}{8}-2=-\frac{41}{16}.$$

   На концах отрезка:

   $$y(-1)=4+3-2=5,$$
   $$y(1)=4-3-2=-1.$$

   Значит, $$E(y)=\left[-\frac{41}{16};\,5\right].$$

   Ответ: $$E(y)=\left[-\frac{41}{16};\,5\right].$$

3. в)

   $$y=\sin x+\cos x$$
   $$y=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)$$
   $$y=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x+\sin\frac{\pi}{4}\cos x\right)$$
   $$y=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то
   $$-\sqrt2\le y\le \sqrt2.$$

   Ответ: $$E(y)=[-\sqrt2;\,\sqrt2].$$

4. г)

   $$y=2\cos 2x-7\sin^2 x$$
   $$y=2(2\cos^2 x-1)-7\sin^2 x$$
   $$y=4\cos^2 x-2-7\sin^2 x$$
   $$y=4(1-\sin^2 x)-2-7\sin^2 x$$
   $$y=2-11\sin^2 x.$$

   Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то
   $$-11\le -11\sin^2 x\le 0,$$
   значит
   $$-9\le 2-11\sin^2 x\le 2.$$

   Ответ: $$E(y)=[-9;\,2].$$

5. д)

   $$y=3\sin x+4\cos^2 x$$
   $$y=3\sin x+4-4\sin^2 x.$$

   Обозначим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и

   $$y=-4t^2+3t+4.$$

   Парабола ветвями вниз, вершина при

   $$t_0=\frac{3}{8}.$$

   $$y\!\left(\frac{3}{8}\right)=-4\cdot\frac{9}{64}+3\cdot\frac{3}{8}+4 =-\frac{9}{16}+\frac{9}{8}+4=\frac{73}{16}=4\frac{9}{16}.$$

   На концах отрезка:

   $$y(-1)=-3+4-4=-3,$$
   $$y(1)=3+4-4=3.$$

   Следовательно, $$E(y)=\left[-3;\,\frac{73}{16}\right].$$

   Ответ: $$E(y)=\left[-3;\,\frac{73}{16}\right].$$

6. е)

   $$y=\sin x-\cos x$$
   $$y=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)$$
   $$y=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x-\sin\frac{\pi}{4}\cos x\right)$$
   $$y=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

   Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то
   $$-\sqrt2\le y\le \sqrt2.$$

   Ответ: $$E(y)=[-\sqrt2;\,\sqrt2].$$