Упр.17.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Вычислите значение выражения при заданном условии:
а) $$\frac{2}{1+\sin(2t)}$$, при $$\operatorname{ctg}(t)=2$$;
б) $$\operatorname{tg}^2(t)+\operatorname{ctg}^2(t)$$, при $$\operatorname{tg}(t)-\operatorname{ctg}(t)=4$$;
в) $$\sin^3(t)+\cos^3(t)$$, при $$\sin(t)+\cos(t)=0{,}9$$;
г) $$\frac{3}{3+2\cos(2t)}$$, при $$\operatorname{tg}(t)=0{,}5$$;
д) $$\operatorname{tg}^2(t)+\operatorname{ctg}^2(t)$$, при $$\operatorname{tg}(t)+\operatorname{ctg}(t)=5$$;
е) $$\sin^3(t)-\cos^3(t)$$, при $$\sin(t)-\cos(t)=-0{,}2$$.
а) $$\frac{2}{1+\sin 2t}, \quad \ctg t=2.$$
Так как $$\sin 2t=2\sin t\cos t,$$ а $$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}=2,$$ то $$\cos t=2\sin t.$$
Тогда
$$\sin 2t=2\sin t\cos t=4\sin^2 t.$$
Из $$\ctg t=2$$ получаем $$\ctg^2 t=4,$$ значит
$$\sin^2 t=\frac{1}{1+\ctg^2 t}=\frac{1}{5}.$$
Следовательно,
$$\frac{2}{1+\sin 2t}=\frac{2}{1+4\cdot \frac{1}{5}}=\frac{2}{\frac{9}{5}}=\frac{10}{9}.$$
б) $$\tg^2 t+\ctg^2 t, \quad \tg t-\ctg t=4.$$
Используем формулу:
$$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t-\ctg t)^2+2.$$
Тогда
$$\tg^2 t+\ctg^2 t=4^2+2=18.$$
в) $$\sin^3 t+\cos^3 t, \quad \sin t+\cos t=0{,}9.$$
Применим формулу суммы кубов:
$$\sin^3 t+\cos^3 t=(\sin t+\cos t)\bigl(\sin^2 t-\sin t\cos t+\cos^2 t\bigr).$$
Найдём $$\sin t\cos t$$:
$$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$
$$\bigl(\sin t+\cos t\bigr)^2=1+2\sin t\cos t,$$
$$0{,}9^2=1+2\sin t\cos t,$$
$$2\sin t\cos t=0{,}81-1=-0{,}19,$$
$$\sin t\cos t=-0{,}095.$$
Тогда
$$\sin^3 t+\cos^3 t=0{,}9\bigl(1-(-0{,}095)\bigr)=0{,}9\cdot 1{,}095=0{,}9855.$$
г) $$\frac{3}{3+2\cos 2t}, \quad \tg t=0{,}5.$$
Используем формулу $$\cos 2t=\frac{1-\tg^2 t}{1+\tg^2 t}.$$ Тогда
$$\cos 2t=\frac{1-0{,}25}{1+0{,}25}=\frac{0{,}75}{1{,}25}=\frac{3}{5}.$$
Следовательно,
$$\frac{3}{3+2\cos 2t}=\frac{3}{3+2\cdot \frac{3}{5}}=\frac{3}{\frac{21}{5}}=\frac{5}{7}.$$
д) $$\tg^2 t+\ctg^2 t, \quad \tg t+\ctg t=5.$$
Используем формулу:
$$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t+\ctg t)^2-2.$$
Тогда
$$\tg^2 t+\ctg^2 t=5^2-2=23.$$
е) $$\sin^3 t-\cos^3 t, \quad \sin t-\cos t=-0{,}2.$$
Применим формулу разности кубов:
$$\sin^3 t-\cos^3 t=(\sin t-\cos t)\bigl(\sin^2 t+\sin t\cos t+\cos^2 t\bigr).$$
Найдём $$\sin t\cos t$$:
$$\bigl(\sin t-\cos t\bigr)^2=1-2\sin t\cos t,$$
$$(-0{,}2)^2=1-2\sin t\cos t,$$
$$0{,}04=1-2\sin t\cos t,$$
$$2\sin t\cos t=0{,}96,$$
$$\sin t\cos t=0{,}48.$$
Тогда
$$\sin^3 t-\cos^3 t=-0{,}2\,(1+0{,}48)=-0{,}2\cdot 1{,}48=-0{,}296.$$
Ответ
а) $$\frac{10}{9}$$; б) $$18$$; в) $$0{,}9855$$; г) $$\frac{5}{7}$$; д) $$23$$; е) $$-0{,}296$$.
