Упр.17.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) 2/(1+sin(2t)), при ctg(t)=2;
б) tg^2(t)+ctg^2(t), при tg(t)-ctg(t)=4;
в) sin^3(t)+cos^3(t), при sin(t)+cos(t)=0,9;
г) 3/(3+2cos(2t)), при tg(t)=0,5;
д) tg^2(t)+ctg^2(t), при tg(t)+ctg(t)=5;
е) sin^3(t)-cos^3(t), при sin(t)-cos(t)=-0,2.

1. а) $$\frac{2}{1+\sin 2t}, \quad \ctg t=2.$$

   Так как $$\sin 2t=2\sin t\cos t,$$ а $$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}=2,$$ то $$\cos t=2\sin t.$$

   Тогда

   $$\sin 2t=2\sin t\cos t=4\sin^2 t.$$

   Из $$\ctg t=2$$ получаем $$\ctg^2 t=4,$$ значит

   $$\sin^2 t=\frac{1}{1+\ctg^2 t}=\frac{1}{5}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{2}{1+\sin 2t}=\frac{2}{1+4\cdot \frac{1}{5}}=\frac{2}{\frac{9}{5}}=\frac{10}{9}.$$

2. б) $$\tg^2 t+\ctg^2 t, \quad \tg t-\ctg t=4.$$

   Используем формулу:

   $$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t-\ctg t)^2+2.$$

   Тогда

   $$\tg^2 t+\ctg^2 t=4^2+2=18.$$

3. в) $$\sin^3 t+\cos^3 t, \quad \sin t+\cos t=0{,}9.$$

   Применим формулу суммы кубов:

   $$\sin^3 t+\cos^3 t=(\sin t+\cos t)\bigl(\sin^2 t-\sin t\cos t+\cos^2 t\bigr).$$

   Найдём $$\sin t\cos t$$:

   $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$

   $$\bigl(\sin t+\cos t\bigr)^2=1+2\sin t\cos t,$$

   $$0{,}9^2=1+2\sin t\cos t,$$

   $$2\sin t\cos t=0{,}81-1=-0{,}19,$$

   $$\sin t\cos t=-0{,}095.$$

   Тогда

   $$\sin^3 t+\cos^3 t=0{,}9\bigl(1-(-0{,}095)\bigr)=0{,}9\cdot 1{,}095=0{,}9855.$$

4. г) $$\frac{3}{3+2\cos 2t}, \quad \tg t=0{,}5.$$

   Используем формулу $$\cos 2t=\frac{1-\tg^2 t}{1+\tg^2 t}.$$ Тогда

   $$\cos 2t=\frac{1-0{,}25}{1+0{,}25}=\frac{0{,}75}{1{,}25}=\frac{3}{5}.$$

   Следовательно,

   $$\frac{3}{3+2\cos 2t}=\frac{3}{3+2\cdot \frac{3}{5}}=\frac{3}{\frac{21}{5}}=\frac{5}{7}.$$

5. д) $$\tg^2 t+\ctg^2 t, \quad \tg t+\ctg t=5.$$

   Используем формулу:

   $$\tg^2 t+\ctg^2 t=(\tg t+\ctg t)^2-2.$$

   Тогда

   $$\tg^2 t+\ctg^2 t=5^2-2=23.$$

6. е) $$\sin^3 t-\cos^3 t, \quad \sin t-\cos t=-0{,}2.$$

   Применим формулу разности кубов:

   $$\sin^3 t-\cos^3 t=(\sin t-\cos t)\bigl(\sin^2 t+\sin t\cos t+\cos^2 t\bigr).$$

   Найдём $$\sin t\cos t$$:

   $$\bigl(\sin t-\cos t\bigr)^2=1-2\sin t\cos t,$$

   $$(-0{,}2)^2=1-2\sin t\cos t,$$

   $$0{,}04=1-2\sin t\cos t,$$

   $$2\sin t\cos t=0{,}96,$$

   $$\sin t\cos t=0{,}48.$$

   Тогда

   $$\sin^3 t-\cos^3 t=-0{,}2\,(1+0{,}48)=-0{,}2\cdot 1{,}48=-0{,}296.$$

Ответ

а) $$\frac{10}{9}$$; б) $$18$$; в) $$0{,}9855$$; г) $$\frac{5}{7}$$; д) $$23$$; е) $$-0{,}296$$.