Упр.17.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$p$$ функция $$y=x^4e^{-x}$$ на интервале $$(p-1;\,p+5)$$: а) имеет одну точку экстремума; б) не имеет точек экстремума; в) убывает; г) имеет две точки экстремума?

Найдём промежутки возрастания и убывания функции $$y=x^4e^{-x}.$$

Производная:

$$y’ = 4x^3e^{-x}-x^4e^{-x}=e^{-x}x^3(4-x).$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при любых $$x,$$ знак производной определяется выражением $$x^3(4-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=4.$$

Исследуем знак $$y’$$:

$$\begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,0) & (0,4) & (4,+\infty) \\ \hline y’ & — & + & — \end{array}$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,0)$$ и $$(4,+\infty),$$ возрастает на $$(0,4).$$

На интервале $$(p-1;\,p+5)$$ точки экстремума могут быть только в точках $$0$$ и $$4.$$

а) Функция имеет одну точку экстремума.

Это возможно, если в интервал попадает ровно одна из точек $$0$$ или $$4.$$

$$\begin{cases} p-1<0<p+5,\\ 4\notin(p-1;\,p+5) \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} p-1<4<p+5,\\ 0\notin(p-1;\,p+5) \end{cases}$$

Получаем:

$$-5<p<-1 \quad \text{или} \quad 1<p<5.$$

б) Функция не имеет точек экстремума.

Это возможно, если интервал не содержит ни $$0,$$ ни $$4.$$ Тогда:

$$p+5<0 \quad \text{или} \quad p-1>4,$$

то есть

$$p<-5 \quad \text{или} \quad p>5.$$

в) Функция убывает.

Чтобы функция убывала на всём интервале, он должен целиком лежать в промежутке убывания. Это возможно, если

$$p+5<0 \quad \text{или} \quad p-1>4,$$

то есть

$$p<-5 \quad \text{или} \quad p>5.$$

г) Функция имеет две точки экстремума.

Нужно, чтобы в интервал $$(p-1;\,p+5)$$ попали обе точки $$0$$ и $$4.$$ Тогда

$$p-1<0,\qquad p+5>4,$$

откуда

$$-1<p<1.$$

Ответ

а) $$(-5;\,-1)\cup(1;\,5)$$

б) $$(-\infty;\,-5)\cup(5;\,+\infty)$$

в) $$(-\infty;\,-5)\cup(5;\,+\infty)$$

г) $$(-1;\,1)$$