Упр.17.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) имеет одну точку экстремума;
б) не имеет точек экстремума;
в) убывает;
г) имеет две точки экстремума?

Найдём промежутки возрастания и убывания функции $$y=x^4e^{-x}.$$

Производная:

$$y’ = 4x^3e^{-x}-x^4e^{-x}=e^{-x}x^3(4-x).$$

Так как $$e^{-x}>0$$ при любых $$x,$$ знак производной определяется выражением $$x^3(4-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=4.$$

Исследуем знак $$y’$$:

$$ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,0) & (0,4) & (4,+\infty) \\ \hline y’ & — & + & — \end{array} $$

Значит, функция убывает на $$(-\infty,0)$$ и $$ (4,+\infty),$$ возрастает на $$ (0,4).$$

На интервале $$ (p-1;\,p+5) $$ точки экстремума могут быть только в точках $$0$$ и $$4.$$

а) Функция имеет одну точку экстремума.

Это возможно, если в интервал попадает ровно одна из точек $$0$$ или $$4.$$

$$ \begin{cases} p-1<0<p+5,\\ 4\notin(p-1;\,p+5) \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} p-1<4<p+5,\\ 0\notin(p-1;\,p+5) \end{cases} $$

Получаем:

$$ -5<p<-1 \quad \text{или} \quad 1<p<5. $$

б) Функция не имеет точек экстремума.

Это возможно, если интервал не содержит ни $$0,$$ ни $$4.$$ Тогда:

$$ p+5<0 \quad \text{или} \quad p-1>4, $$

то есть

$$ p<-5 \quad \text{или} \quad p>5. $$

в) Функция убывает.

Чтобы функция убывала на всём интервале, он должен целиком лежать в промежутке убывания. Это возможно, если

$$ p+5<0 \quad \text{или} \quad p-1>4, $$

то есть

$$ p<-5 \quad \text{или} \quad p>5. $$

г) Функция имеет две точки экстремума.

Нужно, чтобы в интервал $$ (p-1;\,p+5) $$ попали обе точки $$0$$ и $$4.$$ Тогда

$$ p-1<0,\qquad p+5>4, $$

откуда

$$ -1<p<1. $$

Ответ

а) $$(-5;\,-1)\cup(1;\,5)$$

б) $$(-\infty;\,-5)\cup(5;\,+\infty)$$

в) $$(-\infty;\,-5)\cup(5;\,+\infty)$$

г) $$(-1;\,1)$$