Упр.17.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Найдите значения коэффициентов $$b$$ и $$c$$, если известно, что $$x=1$$ — точка экстремума функции $$y=x^4+bx^2+c$$, а её график проходит через точку $$(1;-4)$$.

б) При каких значениях коэффициентов $$a$$, $$b$$, $$c$$ точки $$x=1$$, $$x=3$$ являются точками экстремума функции $$y=x^3+ax^2+bx+c$$?

а) Для функции $$y=x^4+bx^2+c$$ точка экстремума при $$x=1$$ означает, что производная в этой точке равна нулю:

$$y'(x)=4x^3+2bx,$$

$$y'(1)=4+2b=0,$$

$$2b=-4,\quad b=-2.$$

Так как график проходит через точку $$\left(1;-4\right),$$ подставим эти координаты в уравнение функции:

$$1^4-2\cdot 1^2+c=-4,$$

$$1-2+c=-4,$$

$$c=-3.$$

б) Для функции $$y=x^3+ax^2+bx+c$$ точки экстремума при $$x=1$$ и $$x=3$$ означают, что

$$y'(x)=3x^2+2ax+b,$$

и

$$y'(1)=3+2a+b=0,$$

$$y'(3)=27+6a+b=0.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$24+4a=0,$$

$$a=-6.$$

Подставим значение $$a$$ в уравнение $$3+2a+b=0$$:

$$3+2\cdot(-6)+b=0,$$

$$3-12+b=0,$$

$$b=9.$$

Коэффициент $$c$$ в производную не входит, поэтому он может быть любым.

Ответ

а) $$b=-2,\ c=-3.$$

б) $$a=-6,\ b=9,\ c\in\mathbb{R}.$$