Упр.17.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=|(x-4)(2-x)|$$; г) $$y=|(x-1)(x+3)|$$; б) $$y=|x^3-9x|$$; д) $$y=|3x-x^3|$$; в) $$y=x^2-6|x-1|+1$$; е) $$y=4|x|-6-x^2$$.
а) $$y=\left|(x-4)(2-x)\right|=\left|6x-x^2-8\right|.$$
Подмодульное выражение неотрицательно при $$2\le x\le 4,$$ поэтому
$$y=6x-x^2-8,\qquad y’=6-2x.$$
На этом промежутке $$y’\ge 0$$ при $$x\le 3,$$ значит, функция возрастает на $$[2;3].$$
При $$x<2$$ и $$x>4$$ имеем
$$y=x^2-6x+8,\qquad y’=2x-6.$$
Здесь $$y’\le 0$$ при $$x\le 3,$$ поэтому на $$(-\infty;2]$$ функция убывает, а на $$[4;+\infty)$$ возрастает.
Следовательно, в точках $$x=2$$ и $$x=4$$ достигаются минимумы, а в точке $$x=3$$ — максимум.
б) $$y=\left|x^3-9x\right|=\left|x(x-3)(x+3)\right|.$$
Подмодульное выражение неотрицательно при $$-3\le x\le 0$$ и $$x\ge 3,$$ поэтому
$$y=x^3-9x,\qquad y’=3x^2-9=3(x^2-3).$$
Отсюда $$y’\ge 0$$ при $$x\le -\sqrt3$$ или $$x\ge \sqrt3.$$
При $$x<-3$$ и $$0<x<3$$ имеем
$$y=9x-x^3,\qquad y’=9-3x^2=3(3-x^2).$$
Здесь $$y’\ge 0$$ при $$-\sqrt3\le x\le \sqrt3.$$
Итак, функция возрастает на $$[-3;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;3].$$
в) $$y=x^2-6|x-1|+1.$$
Если $$x\ge 1,$$ то
$$y=x^2-6(x-1)+1=x^2-6x+7,\qquad y’=2x-6.$$
Значит, на $$[1;+\infty)$$ функция убывает при $$x<3$$ и возрастает при $$x>3.$$
Если $$x<1,$$ то
$$y=x^2+6(x-1)+1=x^2+6x-5,\qquad y’=2x+6.$$
Здесь $$y’\le 0$$ при $$x\le -3,$$ а при $$-3<x<1$$ функция возрастает.
Следовательно, функция возрастает на $$[-3;1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[1;3].$$
г) $$y=\left|(x-1)(x+3)\right|=\left|x^2+2x-3\right|.$$
Подмодульное выражение неотрицательно при $$x\le -3$$ и $$x\ge 1,$$ поэтому
$$y=x^2+2x-3,\qquad y’=2x+2.$$
Тогда $$y’\ge 0$$ при $$x\ge -1.$$
При $$-3<x<1$$ имеем
$$y=3-x^2-2x,\qquad y’=-2x-2.$$
Здесь $$y’\ge 0$$ при $$x\le -1.$$
Итак, функция возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1].$$
д) $$y=\left|3x-x^3\right|=\left|x(3-x^2)\right|.$$
Подмодульное выражение неотрицательно при $$-\sqrt3\le x\le 0$$ и $$x\ge \sqrt3,$$ поэтому
$$y=3x-x^3,\qquad y’=3-3x^2=3(1-x^2).$$
Отсюда $$y’\ge 0$$ при $$-1\le x\le 1.$$
При $$x<-\sqrt3$$ и $$0<x<\sqrt3$$ имеем
$$y=x^3-3x,\qquad y’=3x^2-3=3(x^2-1).$$
Здесь $$y’\ge 0$$ при $$x\le -1$$ или $$x\ge 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3].$$
е) $$y=4|x|-6-x^2.$$
Если $$x\ge 0,$$ то
$$y=4x-6-x^2,\qquad y’=4-2x.$$
Значит, на $$[0;+\infty)$$ функция возрастает при $$x\le 2$$ и убывает при $$x\ge 2.$$
Если $$x<0,$$ то
$$y=-4x-6-x^2,\qquad y’=-4-2x.$$
Здесь $$y’\ge 0$$ при $$x\le -2.$$
Итак, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
Ответ
а) возрастает на $$[2;3]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2]\cup[3;4],$$
$$x_{\min}=2,\;4,\; x_{\max}=3;$$
б) возрастает на $$[-3;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;3];$$
в) возрастает на $$[-3;1]\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[1;3];$$
г) возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1];$$
д) возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[-1;0]\cup[1;\sqrt3];$$
е) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[0;2],$$ убывает на $$[-2;0]\cup[2;+\infty).$$
