Упр.17.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
- а) $$y=e^{x^3-3x^2-24x+5}$$;
б) $$y=\ln(\sin x+5),\ x\in(7;9)$$;
в) $$y=(\operatorname{arctg}(x-1))^2$$;
г) $$y=3^{vx-0,5x}$$;
д) $$y=\log(3;2\cos x+4),\ x\in(8;10)$$;
е) $$y=\operatorname{arcctg}\left(\frac{x^3}{5x-1}\right)$$.
а) $$y=e^{x^3-3x^2-24x+5}.$$
Так как показательная функция возрастает, исследуем показатель:
$$y’=(3x^2-6x-24)e^{x^3-3x^2-24x+5}=3(x+2)(x-4)e^{x^3-3x^2-24x+5}.$$
Поскольку $$e^{x^3-3x^2-24x+5}>0,$$ знак производной определяется выражением $$3(x+2)(x-4).$$
$$y’>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in(-2;4).$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[-2;4].$$
В точке $$x=-2$$ — максимум, в точке $$x=4$$ — минимум.
б) $$y=\ln(\sin x+5), \quad x\in(7;9).$$
$$y’=\frac{\cos x}{\sin x+5}.$$
Так как $$\sin x+5>0,$$ знак производной определяется знаком $$\cos x.$$
На промежутке $$x\in(7;9)$$ имеем $$\cos x>0$$ при $$x\in\left(7;\frac{5\pi}{2}\right),$$ и $$\cos x<0$$ при $$x\in\left(\frac{5\pi}{2};9\right).$$
Значит, функция возрастает на $$\left(7;\frac{5\pi}{2}\right],$$ убывает на $$\left[\frac{5\pi}{2};9\right).$$
Максимум достигается при $$x=\frac{5\pi}{2}.$$
в) $$y=\bigl(\arctg(x-1)\bigr)^2.$$
$$y’=\frac{2\arctg(x-1)}{1+(x-1)^2}.$$
Знаменатель всегда положителен, поэтому знак $$y’$$ определяется знаком $$\arctg(x-1).$$
$$\arctg(x-1)<0 \text{ при } x<1,\qquad \arctg(x-1)=0 \text{ при } x=1,\qquad \arctg(x-1)>0 \text{ при } x>1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;1],$$ возрастает на $$[1;+\infty).$$
Минимум достигается при $$x=1.$$
г) $$y=3^{\sqrt{x}-0{,}5x}.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
$$y’=3^{\sqrt{x}-0{,}5x}\ln 3\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac12\right).$$
Так как $$3^{\sqrt{x}-0{,}5x}\ln 3>0,$$ знак производной определяется выражением
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac12=\frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$$
При $$0<x<1$$ имеем $$y’>0,$$ при $$x>1$$ имеем $$y'<0.$$
Значит, функция возрастает на $$[0;1],$$ убывает на $$[1;+\infty).$$
Максимум достигается при $$x=1.$$
д) $$y=\log_3(2\cos x+4), \quad x\in(8;10).$$
$$y’=\frac{-2\sin x}{(2\cos x+4)\ln 3}.$$
Так как $$2\cos x+4>0,$$ знак производной определяется знаком $$-\sin x.$$
На промежутке $$x\in(8;10)$$ имеем $$\sin x<0$$ при $$x\in(8;3\pi],$$ и $$\sin x>0$$ при $$x\in[3\pi;10).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[3\pi;10),$$ убывает на $$\left(8;3\pi\right].$$
Минимум достигается при $$x=3\pi.$$
е) $$y=\operatorname{arcctg}\frac{x^3}{5x-1}.$$
Область определения: $$x\ne \frac15.$$
$$y’=-\frac{1}{1+\left(\frac{x^3}{5x-1}\right)^2}\cdot \left(\frac{x^3}{5x-1}\right)’.$$
Так как множитель $$-\dfrac{1}{1+u^2}<0,$$ знак $$y’$$ противоположен знаку производной дроби.
$$\left(\frac{x^3}{5x-1}\right)’=\frac{3x^2(5x-1)-5x^3}{(5x-1)^2}=\frac{x^2(10x-3)}{(5x-1)^2}.$$
Тогда
$$y’=-\frac{x^2(10x-3)}{(5x-1)^2+x^6}.$$
Знаменатель положителен при $$x\ne \frac15,$$ поэтому
$$y’>0 \text{ при } x\in\left(-\infty;\frac15\right)\cup\left(\frac15;\frac{3}{10}\right),$$
$$y'<0 \text{ при } x\in\left(\frac{3}{10};+\infty\right).$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac15\right)\cup\left(\frac15;\frac{3}{10}\right),$$ убывает на $$\left(\frac{3}{10};+\infty\right).$$
Максимум достигается при $$x=\frac{3}{10}.$$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[4;+\infty),$$ убывает на $$[-2;4]$$; максимум при $$x=-2,$$ минимум при $$x=4$$;
б) возрастает на $$\left(7;\frac{5\pi}{2}\right],$$ убывает на $$\left[\frac{5\pi}{2};9\right),$$ максимум при $$x=\frac{5\pi}{2}$$;
в) убывает на $$(-\infty;1],$$ возрастает на $$[1;+\infty),$$ минимум при $$x=1$$;
г) возрастает на $$[0;1],$$ убывает на $$[1;+\infty),$$ максимум при $$x=1$$;
д) убывает на $$\left(8;3\pi\right],$$ возрастает на $$[3\pi;10),$$ минимум при $$x=3\pi$$;
е) возрастает на $$\left(-\infty;\frac15\right)\cup\left(\frac15;\frac{3}{10}\right),$$ убывает на $$\left(\frac{3}{10};+\infty\right),$$ максимум при $$x=\frac{3}{10}$$.
