Упр.17.2 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) промежутки возрастания функции y=f(x);
б) точки максимума функции y=f(x);
в) стационарные точки функции y=f(x);
г) промежутки убывания функции y=f(x);
д) точки минимума функции y=f(x);
е) критические точки функции y=f(x). Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:
а) Функция имеет разрыв в точке х=—3; имеет минимум в точке х=—5 и минимум в точке х=0; не ограничена.
б) Функция определена на промежутках (—?; 1) и (1; +?); имеет вертикальную асимптоту x=1 и горизонтальную асимптоту y=2 при х>?; имеет одну точку максимума и одну точку минимума; ограничена сверху и не ограничена снизу.

Подробный ответ

По таблице знаков производной получаем:

$$f'(x)>0$$ на промежутке $$[-7;3]$$, значит функция возрастает на $$[-7;3]$$;
$$f'(x)<0$$ на промежутках $$(-\infty;-7]$$ и $$[3;5]$$, значит функция убывает на $$(-\infty;-7]\cup[3;5]$$;
в точке $$x=-7$$ производная меняет знак с «−» на «+», значит это точка минимума;
в точке $$x=3$$ производная меняет знак с «+» на «−», значит это точка максимума;
стационарные точки — это точки, где $$f'(x)=0$$, поэтому $$x=-7$$ и $$x=-2$$;
критические точки — это точки, где $$f'(x)=0$$ или производная не существует, поэтому $$x=3$$.

Эскиз графика можно построить, например, так:

для пункта а) взять функцию с разрывом при $$x=-3$$, минимумами при $$x=-5$$ и $$x=0$$ и без ограниченности;
для пункта б) взять функцию, определённую на $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$, с вертикальной асимптотой $$x=1$$, горизонтальной асимптотой $$y=2$$ при $$x\to+\infty$$, одной точкой максимума и одной точкой минимума, ограниченную сверху и не ограниченную снизу.