Упр.17.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=|x-2|-1$$; в) $$y=|x+1|-3$$; б) $$y=\left|\frac{1}{x}-1\right|$$; г) $$y=\left|2-\frac{2}{x}\right|$$.

1. а) $$y=|x-2|-1$$

   Если $$x\ge 2$$, то $$y=x-2-1=x-3$$, поэтому $$y'(x)=1>0$$.

   Если $$x<2$$, то $$y=2-x-1=1-x$$, поэтому $$y'(x)=-1<0$$.

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty)$$. Минимум достигается при $$x=2$$:

   $$y_{\min}=|2-2|-1=-1.$$

2. б) $$y=\left|\frac{1}{x}-1\right|$$, $$x\ne 0$$

   Рассмотрим знак выражения под модулем:

   $$\frac{1}{x}-1\ge 0 \iff \frac{1-x}{x}\ge 0.$$

   Отсюда $$0<x\le 1$$.

   Если $$0<x\le 1$$, то $$y=\frac{1}{x}-1$$, и

   $$y'(x)=-\frac{1}{x^2}<0.$$

   Если $$x<0$$ или $$x>1$$, то $$y=1-\frac{1}{x}$$, и

   $$y'(x)=\frac{1}{x^2}>0.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$ с учетом области определения это записывают как $$(0;1]$$, а минимум достигается при $$x=1$$:

   $$y_{\min}=\left|\frac{1}{1}-1\right|=0.$$

3. в) $$y=|x+1|-3$$

   Если $$x\ge -1$$, то $$y=x+1-3=x-2$$, поэтому $$y'(x)=1>0$$.

   Если $$x<-1$$, то $$y=-x-1-3=-x-4$$, поэтому $$y'(x)=-1<0$$.

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty)$$. Минимум достигается при $$x=-1$$:

   $$y_{\min}=|-1+1|-3=-3.$$

4. г) $$y=\left|2-\frac{2}{x}\right|$$, $$x\ne 0$$

   Рассмотрим знак выражения под модулем:

   $$2-\frac{2}{x}\ge 0 \iff 2\left(1-\frac{1}{x}\right)\ge 0 \iff \frac{x-1}{x}\ge 0.$$

   Отсюда $$x<0$$ или $$x\ge 1$$.

   Если $$x<0$$ или $$x\ge 1$$, то $$y=2-\frac{2}{x}$$, и

   $$y'(x)=\frac{2}{x^2}>0.$$

   Если $$0<x<1$$, то $$y=\frac{2}{x}-2$$, и

   $$y'(x)=-\frac{2}{x^2}<0.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$ с учетом области определения это записывают как $$(0;1]$$, а минимум достигается при $$x=1$$:

   $$y_{\min}=\left|2-\frac{2}{1}\right|=0.$$

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$, $$x_{\min}=2$$;
б) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$, $$x_{\min}=1$$;
в) убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty)$$, $$x_{\min}=-1$$;
г) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$, $$x_{\min}=1$$.