Упр.17.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:
   а) $$y=\begin{cases}x^3-3x^2-9x, & \text{если } x\geq 1,\\x-12, & \text{если } x<1;\end{cases}$$
   б) $$y=\begin{cases}x^4-2x^2-3, & \text{если } x\geq -2,\\2x+9, & \text{если } x<-2.\end{cases}$$

а) Рассмотрим каждую ветвь функции отдельно.

При $$x \ge 1$$ имеем

$$y=x^3-3x^2-9x,$$

тогда

$$y'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3).$$

Знак производной определяется неравенством

$$3(x+1)(x-3)\ge 0,$$

откуда

$$x\le -1 \text{ или } x\ge 3.$$

С учётом области $$x\ge 1$$ получаем: функция возрастает на $$[3;+\infty)$$ и убывает на $$[1;3].$$

При $$x<1$$ имеем

$$y=x-12,$$

поэтому

$$y'(x)=1>0,$$

то есть на промежутке $$(-\infty;1)$$ функция возрастает.

Итак, функция возрастает на $$(-\infty;1)\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[1;3].$$

В точке $$x=1$$ значение функции равно

$$y(1)=1-3-9=-11,$$

а в точке $$x=3$$

$$y(3)=27-27-27=-27.$$

Следовательно, $$x=1$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума.

б) Рассмотрим каждую ветвь функции отдельно.

При $$x\ge -2$$ имеем

$$y=x^4-2x^2-3,$$

тогда

$$y'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Исследуем знак производной:

$$4x(x-1)(x+1)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in[-1;0]\cup[1;+\infty).$$

Значит, на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$ функция возрастает, а на $$[-2;-1]\cup[0;1]$$ убывает.

При $$x<-2$$ имеем

$$y=2x+9,$$

поэтому

$$y'(x)=2>0,$$

то есть на промежутке $$(-\infty;-2)$$ функция возрастает.

Итак, функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-2;-1]\cup[0;1].$$

Найдём значения в точках экстремума:

$$y(-2)=(-2)^4-2(-2)^2-3=16-8-3=5,$$

$$y(-1)=1-2-3=-4,$$

$$y(0)=-3,$$

$$y(1)=1-2-3=-4.$$

Следовательно, $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=-1$$ и $$x=1$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.

Ответ

а) Возрастает на $$(-\infty;1)\cup[3;+\infty),$$ убывает на $$[1;3].$$ Точка максимума: $$x=1,$$ точка минимума: $$x=3.$$

б) Возрастает на $$(-\infty;-2)\cup[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-2;-1]\cup[0;1].$$ Точки максимума: $$x=-2$$ и $$x=0,$$ точки минимума: $$x=-1$$ и $$x=1.$$