Упр.17.16 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы на указанном промежутке:
   а) $$y=\sin\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$;
   б) $$y=\sqrt{2}\cos(x)-x$$ на отрезке $$\left[-\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$.
2. Решите уравнение:
   а) $$\left|\lvert x-1\rvert-3\right|=3-\lvert x-1\rvert$$;
   б) $$\left|\lvert 2x-3\rvert-5\right|=\lvert 2x-3\rvert-5$$.

1. а) $$y=\sin\left(x-\frac{3\pi}{4}\right), \quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=\cos\left(x-\frac{3\pi}{4}\right).$$

   Функция возрастает, когда

   $$\cos\left(x-\frac{3\pi}{4}\right)\ge 0.$$

   Это выполняется при

   $$-\frac{\pi}{2}\le x-\frac{3\pi}{4}\le \frac{\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{5\pi}{4}.$$

   Значит, на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ функция возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right].$$

   Минимум достигается при $$x=\frac{\pi}{4},$$ максимум — при $$x=\frac{5\pi}{4}.$$

2. б) $$y=\sqrt{2}\cos x-x, \quad x\in\left[-\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right].$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=-\sqrt{2}\sin x-1.$$

   Функция возрастает, когда

   $$-\sqrt{2}\sin x-1\ge 0,$$

   то есть

   $$\sin x\le -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   На заданном промежутке это выполняется при

   $$x\in\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}\right].$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{5\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right].$$

   Минимум достигается при $$x=-\frac{3\pi}{4},$$ максимум — при $$x=-\frac{\pi}{4}.$$

3. а) $$\left||x-1|-3\right|=3-|x-1|.$$

   Правая часть неотрицательна, значит

   $$3-|x-1|\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x-1|\le 3.$$

   Пусть $$t=|x-1|.$$ Тогда уравнение принимает вид

   $$|t-3|=3-t,\quad t\ge 0.$$

   Если $$t\le 3,$$ то $$|t-3|=3-t,$$ и равенство верно при любом таком $$t.$$

   Значит, нужно только $$|x-1|\le 3,$$ то есть

   $$-3\le x-1\le 3,$$

   $$-2\le x\le 4.$$

4. б) $$\left||2x-3|-5\right|=|2x-3|-5.$$

   Пусть $$t=|2x-3|.$$ Тогда

   $$|t-5|=t-5.$$

   Это возможно только при

   $$t-5\ge 0,$$

   то есть

   $$|2x-3|\ge 5.$$

   Решаем неравенство:

   $$2x-3\le -5 \quad \text{или} \quad 2x-3\ge 5.$$

   Отсюда

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

Ответ

1) а) возрастает на $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{2}\right]$$; $$x_{\min}=\frac{\pi}{4},\ x_{\max}=\frac{5\pi}{4}$$.
б) возрастает на $$\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{5\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$; $$x_{\min}=-\frac{3\pi}{4},\ x_{\max}=-\frac{\pi}{4}$$.
2) а) $$x\in[-2;4]$$;
б) $$x\in(-\infty;-1]\cup[4;+\infty).$$