Упр.17.15 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
а) y=2sin(x+?/6); в) y=0,5cos(x-?/3);
б) y=cos(2x/3)+0,5; г) y=sin(2x)-1,5. Вычислите:
а) sin(?/4)-sin^2(?/4)+sin^3(?/4)-…+(-1)^(n+1)sin^n(?/4)+…;
б) tg(5?/6)+tg^2(5?/6)+tg^3(5?/6)+…+tg^n(5?/6)+…;
в) cos(?/3)+cos^2(?/3)+cos^3(?/3)+…+cos^n(?/3)+…;
г) ctg(2?/3)+ctg^2(2?/3)+ctg^3(2?/3)+…+ctg^n(2?/3)+… .
а) $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$
$$y'(x)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$
Критические точки на отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$ получаем из уравнения
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0$$
$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi k$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k$$
На отрезке лежат точки $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$
Значения функции:
$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2,\quad y\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-2,\quad y\left(\frac{7\pi}{3}\right)=2.$$
Следовательно, в точках $$x=\frac{\pi}{3}$$ и $$x=\frac{7\pi}{3}$$ — максимумы, а в точке $$x=\frac{4\pi}{3}$$ — минимум.
б) $$y=\cos\frac{2x}{3}+\frac12$$
$$y'(x)=-\frac23\sin\frac{2x}{3}$$
Критические точки:
$$\sin\frac{2x}{3}=0$$
$$\frac{2x}{3}=\pi k,\quad x=\frac{3\pi k}{2}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$ получаем $$x=0,\ \frac{3\pi}{2}.$$
$$y(0)=\frac32,\quad y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac12.$$
Значит, в точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=\frac{3\pi}{2}$$ — минимум.
в) $$y=0{,}5\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$
$$y'(x)=-0{,}5\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$
Критические точки:
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$x-\frac{\pi}{3}=\pi k,\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi k$$
На отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$ лежат точки $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$
$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12,\quad y\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac12,\quad y\left(\frac{7\pi}{3}\right)=\frac12.$$
Следовательно, в точках $$x=\frac{\pi}{3}$$ и $$x=\frac{7\pi}{3}$$ — максимумы, в точке $$x=\frac{4\pi}{3}$$ — минимум.
г) $$y=\sin 2x-1{,}5$$
$$y'(x)=2\cos 2x$$
Критические точки:
$$\cos 2x=0$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{5\pi}{2}\right]$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$
Значения функции чередуются:
$$y\left(\frac{\pi}{4}\right)=-0{,}5,\quad y\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-2{,}5,\quad y\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-0{,}5,\quad y\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-2{,}5,\quad y\left(\frac{9\pi}{4}\right)=-0{,}5.$$
Значит, в точках $$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}$$ — максимумы, а в точках $$x=\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$ — минимумы.
а) $$\sin\frac{\pi}{4}-\sin^2\frac{\pi}{4}+\sin^3\frac{\pi}{4}-\cdots$$
Это бесконечная геометрическая прогрессия:
$$b_1=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad q=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}=\sqrt2-1.$$
б) $$\tg\frac{5\pi}{6}+\tg^2\frac{5\pi}{6}+\tg^3\frac{5\pi}{6}+\cdots$$
$$b_1=\tg\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt3},\quad q=\tg\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt3}.$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=\frac12(1-\sqrt3).$$
в) $$\cos\frac{\pi}{3}+\cos^2\frac{\pi}{3}+\cos^3\frac{\pi}{3}+\cdots$$
$$b_1=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\quad q=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1.$$
г) $$\ctg\frac{2\pi}{3}+\ctg^2\frac{2\pi}{3}+\ctg^3\frac{2\pi}{3}+\cdots$$
$$b_1=\ctg\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{\sqrt3},\quad q=\ctg\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{\sqrt3}.$$
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=\frac12(1-\sqrt3).$$
Ответ
1) а) $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$ — максимумы, $$x=\frac{4\pi}{3}$$ — минимум;
б) $$x=0$$ — максимум, $$x=\frac{3\pi}{2}$$ — минимум;
в) $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$ — максимумы, $$x=\frac{4\pi}{3}$$ — минимум;
г) $$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}$$ — максимумы, $$x=\frac{3\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}$$ — минимумы.
2) а) $$\sqrt2-1$$;
б) $$\frac12(1-\sqrt3)$$;
в) $$1$$;
г) $$\frac12(1-\sqrt3)$$.
