Упр.17.14 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y = x vln(x); б) y = (x^2 / 2) — 5x + 4ln(x vx);
в) y = (ln(x))^2 / x; г) y = x^2 + x — (1/3) ln(x^9). Найдите значение выражения:
а) log_(vx/y)(y), если log_y(x)=5;
б) log_(vy/x)(vx/vy)+log_(vy/x)(1/x^(1/4)), если log_y(x)=6;
в) log_(v(xy))(vy/x^(1/4)), если log_x(y)=3;
г) 4log_(v(xy))(vx/y)+3log_(v(xy))(y^2), если log_x(y)=2.

1. а) $$y=x\sqrt{\ln x}$$

   Область определения: $$\ln x \ge 0,\quad x \ge 1.$$

   Найдём производную:

   $$ y’=\sqrt{\ln x}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{\ln x}}\cdot \frac{1}{x} =\sqrt{\ln x}+\frac{1}{2\sqrt{\ln x}}. $$

   При $$x>1$$ имеем $$\ln x>0$$, значит $$y’>0$$. Производная не обращается в нуль, точек экстремума нет.

   Ответ: нет.

2. б) $$y=\frac{x^2}{2}-5x+4\ln(x\sqrt{x})$$

   Область определения: $$x\sqrt{x}>0,\quad x>0.$$

   Так как $$\ln(x\sqrt{x})=\ln(x^{3/2})=\frac{3}{2}\ln x,$$ то

   $$ y’ = x-5+4\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x} = x-5+\frac{6}{x}. $$

   Решим уравнение $$y’=0$$:

   $$ x-5+\frac{6}{x}=0 \;\Rightarrow\; x^2-5x+6=0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x-3)=0. $$

   Отсюда $$x=2$$ и $$x=3$$. Знак производной:

   $$ x^2-5x+6>0 \text{ при } x<2 \text{ и } x>3,\qquad x^2-5x+6<0 \text{ при } 2<x<3. $$

   Значит, при $$x=2$$ — максимум, при $$x=3$$ — минимум.

   Ответ: $$x_{\max}=2,\; x_{\min}=3.$$

3. в) $$y=\frac{(\ln x)^2}{x}$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Найдём производную:

   $$ y’=\frac{2\ln x\cdot \frac{1}{x}\cdot x-(\ln x)^2}{x^2} =\frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}. $$

   Так как $$x^2>0,$$ знак производной определяется числителем:

   $$ 2\ln x-(\ln x)^2 \ge 0 \;\Rightarrow\; \ln x(2-\ln x)\ge 0. $$

   Отсюда

   $$ 0\le \ln x \le 2 \;\Rightarrow\; 1\le x\le e^2. $$

   Следовательно, при $$x=1$$ — минимум, при $$x=e^2$$ — максимум.

   Ответ: $$x_{\min}=1,\; x_{\max}=e^2.$$

4. г) $$y=x^2+x-\frac13\ln(x^9)$$

   Область определения: $$x^9>0,\quad x>0.$$

   Так как $$\ln(x^9)=9\ln x,$$ то

   $$ y’=2x+1-\frac13\cdot \frac{9}{x}=2x+1-\frac{3}{x}. $$

   Решим уравнение $$y’=0$$:

   $$ 2x+1-\frac{3}{x}=0 \;\Rightarrow\; 2x^2+x-3=0 \;\Rightarrow\; (2x+3)(x-1)=0. $$

   С учётом области определения подходит только $$x=1$$.

   При $$0<x<1$$ производная отрицательна, при $$x>1$$ положительна, значит в точке $$x=1$$ — минимум.

   Ответ: $$x_{\min}=1.$$

Ответ

1. а) экстремумов нет;
2. б) $$x_{\max}=2,\; x_{\min}=3$$;
3. в) $$x_{\min}=1,\; x_{\max}=e^2$$;
4. г) $$x_{\min}=1$$.

Ход решения

1. а) $$\log_{\frac{\sqrt{x}}{y}} y,\quad \text{если } \log_y x=5.$$

   Используем формулу перехода к новому основанию:

   $$ \log_{\frac{\sqrt{x}}{y}} y =\frac{1}{\log_y \frac{\sqrt{x}}{y}} =\frac{1}{\log_y x^{1/2}-\log_y y} =\frac{1}{\frac12\log_y x-1}. $$

   Подставим $$\log_y x=5$$:

   $$ \frac{1}{\frac12\cdot 5-1} =\frac{1}{\frac32} =\frac23. $$

   Ответ: $$\frac23.$$

2. б) $$\log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right)+\log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right),\quad \text{если } \log_y x=6.$$

   Сложим логарифмы:

   $$ \log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right)+ \log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right) = \log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{y}}\right). $$

   Тогда

   $$ \log_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\left(\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{y}}\right) = \frac{\log_y \left(\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{y}}\right)}{\log_y \left(\frac{\sqrt{y}}{x}\right)} = \frac{\frac14\log_y x-\frac12}{\frac12-\log_y x}. $$

   Подставим $$\log_y x=6$$:

   $$ \frac{\frac14\cdot 6-\frac12}{\frac12-6} = \frac{\frac32-\frac12}{-\frac{11}{2}} = \frac{1}{-\frac{11}{2}} =-\frac{2}{11}. $$

   Ответ: $$-\frac{2}{11}.$$

3. в) $$\log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}}\right),\quad \text{если } \log_x y=3.$$

   Запишем через логарифмы по основанию $$x$$:

   $$ \log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}}\right) = \frac{\log_x \left(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}}\right)}{\log_x \sqrt{xy}}. $$

   Вычислим числитель и знаменатель:

   $$ \log_x \left(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}}\right) =\frac12\log_x y-\frac14, \qquad \log_x \sqrt{xy} =\frac12\log_x x+\frac12\log_x y. $$

   Подставим $$\log_x y=3$$:

   $$ \frac{\frac12\cdot 3-\frac14}{\frac12\cdot 1+\frac12\cdot 3} = \frac{\frac32-\frac14}{2} = \frac{\frac54}{2} = \frac58. $$

   Ответ: $$\frac58.$$

4. г) $$4\log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)+3\log_{\sqrt{xy}} y^2,\quad \text{если } \log_x y=2.$$

   Преобразуем выражение:

   $$ 4\log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right) =\log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{x^2}{y^4}\right), $$

   поэтому

   $$ \log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{x^2}{y^4}\right)+3\log_{\sqrt{xy}} y^2 = \log_{\sqrt{xy}}\left(\frac{x^2}{y^4}\cdot y^6\right) = \log_{\sqrt{xy}}(x^2y^2). $$

   Теперь

   $$ \log_{\sqrt{xy}}(x^2y^2) = \frac{\log_x(x^2y^2)}{\log_x \sqrt{xy}} = \frac{2\log_x x+2\log_x y}{\frac12\log_x x+\frac12\log_x y}. $$

   Подставим $$\log_x y=2$$:

   $$ \frac{2\cdot 1+2\cdot 2}{\frac12\cdot 1+\frac12\cdot 2} = \frac{6}{\frac32} =4. $$

   Ответ: $$4.$$

Ответ

1. а) $$\frac23$$;
2. б) $$-\frac{2}{11}$$;
3. в) $$\frac58$$;
4. г) $$4$$.