Упр.17.13 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) y = x^4 — x^2 — 2ln(x); б) y = x^4 — 3x^2 + 2ln(x). Решите уравнение:
а) sin(x)·ln(9-x^2)=0;
б) cos(x)·lg(5x-6-x^2)=0;
в) ctg(x)·v(16-x^2)=0;
г) tg(x)·(9x-8-x^2)^(1/4)=0.

1. а) $$y=x^4-x^2-2\ln x,$$ $$x>0.$$

   Найдём производную:

   $$y’=4x^3-2x-\frac{2}{x}.$$

   Приравняем к нулю:

   $$4x^3-2x-\frac{2}{x}=0,$$

   $$2x^4-x^2-1=0.$$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда

   $$2t^2-t-1=0,$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$t_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{1+3}{4}=1.$$

   Так как $$t=x^2>0,$$ подходит только $$x^2=1,$$ то есть $$x=1.$$

   Проверим знак производной: при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0,$$ а при $$x>1$$ имеем $$y’>0.$$ Значит, в точке $$x=1$$ — минимум.

   $$y(1)=1-1-2\ln 1=0.$$

2. б) $$y=x^4-3x^2+2\ln x,$$ $$x>0.$$

   Найдём производную:

   $$y’=4x^3-6x+\frac{2}{x}.$$

   Приравняем к нулю:

   $$4x^3-6x+\frac{2}{x}=0,$$

   $$2x^4-3x^2+1=0.$$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда

   $$2t^2-3t+1=0,$$

   $$D=9-8=1,$$

   $$t_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\sqrt2}{2}\quad \text{или}\quad x=1.$$

   Исследование знака производной показывает: при $$0<x<\frac{\sqrt2}{2}$$ функция возрастает, на промежутке $$\frac{\sqrt2}{2}<x<1$$ убывает, а при $$x>1$$ снова возрастает. Значит,

   в точке $$x=\frac{\sqrt2}{2}$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

   $$y\!\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac14-\frac32+2\ln\frac{\sqrt2}{2},\qquad y(1)=1-3+2\ln 1=-2.$$

3. а) $$\sin x\cdot \ln(9-x^2)=0.$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\ln(9-x^2)=0 \Rightarrow 9-x^2=1 \Rightarrow x^2=8 \Rightarrow x=\pm 2\sqrt2.$$

   Область определения: $$9-x^2>0,$$ то есть $$-3<x<3.$$

   Из найденных значений подходят $$x=0,\ \pm 2\sqrt2.$$

4. б) $$\cos x\cdot \lg(5x-6-x^2)=0.$$

   1) $$\lg(5x-6-x^2)=0 \Rightarrow 5x-6-x^2=1,$$

   $$x^2-5x+7=0.$$

   $$D=25-28=-3<0,$$ корней нет.

   2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Но область определения требует

   $$5x-6-x^2>0,$$

   $$x^2-5x+6<0,$$

   $$2<x<3.$$

   Среди значений $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ таких нет, значит решений нет.

5. в) $$\ctg x\cdot \sqrt{16-x^2}=0.$$

   1) $$\sqrt{16-x^2}=0 \Rightarrow 16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 4.$$

   2) $$\ctg x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Область определения: $$16-x^2\ge 0,$$ то есть $$-4\le x\le 4.$$

   Подходят значения $$x=-4,\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ 4.$$

6. г) $$\tg x\cdot \sqrt[4]{9x-8-x^2}=0.$$

   1) $$\sqrt[4]{9x-8-x^2}=0 \Rightarrow 9x-8-x^2=0,$$

   $$x^2-9x+8=0,$$

   $$D=81-32=49,$$

   $$x_1=1,\qquad x_2=8.$$

   2) $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Область определения:

   $$9x-8-x^2\ge 0,$$

   $$x^2-9x+8\le 0,$$

   $$1\le x\le 8.$$

   Из значений $$x=\pi n$$ в этот промежуток попадает только $$x=\pi$$ и $$x=2\pi.$$

Ответ

Точки экстремума:
а) $$x=1$$ — минимум;
б) $$x=\frac{\sqrt2}{2}$$ — максимум, $$x=1$$ — минимум.

Уравнения:
а) $$x=-2\sqrt2,\ 0,\ 2\sqrt2$$;
б) корней нет;
в) $$x=-4,\ -\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ 4$$;
г) $$x=1,\ \pi,\ 2\pi,\ 8$$.