Упр.17.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
   а) $$y=\frac{14}{x^4-5x^2+4}$$;
   б) $$y=\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}$$;
   в) $$y=\frac{x^2-3x+2}{x^2+2x}$$;
   г) $$y=x(x-1)^{\frac{1}{3}}$$.
2. Исследуйте функцию и постройте её график:
   а) $$y=x-\ln(x)$$;
   б) $$y=2x+\ln(x)$$.

1. а) $$y=\frac{14}{x^4-5x^2+4}$$

   Найдём производную:
   $$y’=-\frac{14(4x^3-10x)}{(x^4-5x^2+4)^2}=-\frac{28x(2x^2-5)}{(x^4-5x^2+4)^2}.$$
   Так как знаменатель всегда положителен на области определения, то знак $$y’$$ определяется числителем:
   $$-28x(2x^2-5).$$
   Критические точки:
   $$x=0,\quad x=\pm\sqrt{\frac52}.$$
   Исследование знака производной даёт:

   • при $$x=-\sqrt{\frac52}$$ — максимум;
   • при $$x=0$$ — минимум;
   • при $$x=\sqrt{\frac52}$$ — максимум.

   Ответ: $$x_{\max}=\pm\sqrt{\frac52},\quad x_{\min}=0.$$

2. б) $$y=\sqrt{x+1}+\sqrt{5-x}$$

   Область определения:
   $$x+1\ge 0,\quad 5-x\ge 0,$$
   откуда
   $$x\in[-1;5].$$
   Производная:
   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}.$$
   Найдём критическую точку:
   $$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}=0$$
   $$\sqrt{5-x}=\sqrt{x+1}$$
   $$5-x=x+1$$
   $$x=2.$$
   На отрезке $$[-1;5]$$ функция возрастает до $$x=2$$ и убывает после него, значит в точке $$x=2$$ достигается максимум.

   Ответ: $$x_{\max}=2.$$

3. в) $$y=\frac{x^2-3x+2}{x^2+2x}$$

   Область определения:
   $$x^2+2x\ne 0,\quad x(x+2)\ne 0,$$
   значит
   $$x\ne 0,\quad x\ne -2.$$
   Производная:
   $$y’=\frac{(2x-3)(x^2+2x)-(2x+2)(x^2-3x+2)}{(x^2+2x)^2}.$$
   Числитель упрощается:
   $$(2x-3)(x^2+2x)-(2x+2)(x^2-3x+2)=5x^2-4x-4.$$
   Тогда
   $$y’=\frac{5x^2-4x-4}{(x^2+2x)^2}.$$
   Решаем неравенство
   $$5x^2-4x-4\ge 0.$$
   Корни:
   $$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-4)=96,$$
   $$x=\frac{4\pm\sqrt{96}}{10}=\frac{2\pm 2\sqrt6}{5}.$$
   Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то
   $$5x^2-4x-4\ge 0$$
   при
   $$x\le \frac{2-2\sqrt6}{5}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{2+2\sqrt6}{5}.$$
   Следовательно, в левой критической точке — максимум, в правой — минимум.

   Ответ: $$x_{\max}=\frac{2-2\sqrt6}{5},\quad x_{\min}=\frac{2+2\sqrt6}{5}.$$

4. г) $$y=x\sqrt[3]{x-1}$$

   Найдём производную:
   $$y’=\sqrt[3]{x-1}+x\cdot \frac13(x-1)^{-2/3}.$$
   Приведём к общему виду:
   $$y’=\frac{3(x-1)+x}{3(x-1)^{2/3}}=\frac{4x-3}{3(x-1)^{2/3}}.$$
   Знаменатель положителен при $$x\ne 1$$, поэтому знак производной определяется числителем:
   $$4x-3=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac34.$$
   При $$x<\frac34$$ производная отрицательна, при $$x>\frac34$$ — положительна, значит в точке $$x=\frac34$$ достигается минимум.

   Ответ: $$x_{\min}=\frac34.$$

1. а) $$y=x-\ln x$$

   Область определения:
   $$x>0.$$
   Производная:
   $$y’=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.$$
   Так как $$x>0$$, то
   $$y’>0 \iff x>1.$$
   Следовательно, функция убывает на $$(0;1)$$ и возрастает на $$(1;+\infty).$$
   В точке $$x=1$$ достигается минимум:
   $$y_{\min}=1-\ln 1=1.$$
   При $$x\to 0+$$ имеем $$y\to +\infty,$$ значит вертикальная асимптота:
   $$x=0.$$
   Множество значений:
   $$E(y)=[1;+\infty).$$

   Ответ: $$D(y)=(0;+\infty),\quad E(y)=[1;+\infty),\quad x_{\min}=1,\quad y_{\min}=1,\quad x=0\text{ — асимптота}.$$

2. б) $$y=2x+\ln x$$

   Область определения:
   $$x>0.$$
   Производная:
   $$y’=2+\frac1x.$$
   При $$x>0$$ имеем $$y’>0,$$ значит функция возрастает на $$(0;+\infty).$$
   При $$x\to 0+$$
   $$y\to -\infty,$$
   поэтому вертикальная асимптота:
   $$x=0.$$
   Так как функция непрерывно возрастает от $$-\infty$$ до $$+\infty,$$ то
   $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Ответ: $$D(y)=(0;+\infty),\quad E(y)=(-\infty;+\infty),\quad x=0\text{ — асимптота}.$$

Ответ

1) $$x_{\max}=\pm\sqrt{\frac52},\ x_{\min}=0;\quad x_{\max}=2;\quad x_{\max}=\frac{2-2\sqrt6}{5},\ x_{\min}=\frac{2+2\sqrt6}{5};\quad x_{\min}=\frac34.$$
2) $$D(y)=(0;+\infty),\ E(y)=[1;+\infty),\ x_{\min}=1;\quad D(y)=(0;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty).$$