Упр.16.9 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) рис. 72; в) рис. 74; д) рис. 76;
б) рис. 73; г) рис. 75; е) рис. 77. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) y=x^3 /3-8x^2+15x-32; г) y=2x^3 /3-5,5x^2+14x+25;
б) y=8x^4+4x-19; д) y=x^4 /4-27x+11;
в) y=5x^5-3x^3+7; е) y=3x^5-5x^3-6.

1. а) $$y=\frac{x^3}{3}-8x^2+15x-32$$

   $$y'(x)=x^2-16x+15$$

   $$x^2-16x+15=(x-1)(x-15)$$

   $$y'(x)=0 \iff x=1 \text{ или } x=15$$

   Знак производной:

   $$y'(x)>0 \text{ при } x<1 \text{ и } x>15,\qquad y'(x)<0 \text{ при } 1<x<15$$

   Значит, в точке $$x=1$$ — максимум, а в точке $$x=15$$ — минимум.

2. б) $$y=8x^4+4x-19$$

   $$y'(x)=32x^3+4$$

   $$32x^3+4=0 \iff x^3=-\frac18 \iff x=-\frac12$$

   Так как кубическая функция $$32x^3+4$$ возрастает, то

   $$y'(x)<0 \text{ при } x<-\frac12,\qquad y'(x)>0 \text{ при } x>-\frac12$$

   Следовательно, в точке $$x=-\frac12$$ — минимум.

3. в) $$y=5x^5-3x^3+7$$

   $$y'(x)=25x^4-9x^2=x^2(25x^2-9)=x^2(5x-3)(5x+3)$$

   $$y'(x)=0 \iff x=-\frac35,\; x=0,\; x=\frac35$$

   Так как множитель $$x^2\ge 0$$, знак производной определяется выражением $$25x^2-9$$:

   $$y'(x)>0 \text{ при } x<-\frac35 \text{ и } x>\frac35,\qquad y'(x)<0 \text{ при } -\frac35<x<\frac35$$

   Значит, в точке $$x=-\frac35$$ — максимум, а в точке $$x=\frac35$$ — минимум.

4. г) $$y=\frac{2x^3}{3}-5{,}5x^2+14x+25$$

   $$y'(x)=2x^2-11x+14$$

   $$2x^2-11x+14=(2x-7)(x-2)$$

   $$y'(x)=0 \iff x=2 \text{ или } x=\frac72$$

   $$y'(x)>0 \text{ при } x<2 \text{ и } x>\frac72,\qquad y'(x)<0 \text{ при } 2<x<\frac72$$

   Следовательно, в точке $$x=2$$ — максимум, а в точке $$x=\frac72$$ — минимум.

5. д) $$y=\frac{x^4}{4}-27x+11$$

   $$y'(x)=x^3-27$$

   $$x^3-27=0 \iff x=3$$

   $$y'(x)<0 \text{ при } x<3,\qquad y'(x)>0 \text{ при } x>3$$

   Значит, в точке $$x=3$$ — минимум.

6. е) $$y=3x^5-5x^3-6$$

   $$y'(x)=15x^4-15x^2=15x^2(x^2-1)=15x^2(x-1)(x+1)$$

   $$y'(x)=0 \iff x=-1,\; x=0,\; x=1$$

   Знак производной:

   $$y'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1,\qquad y'(x)<0 \text{ при } -1<x<1$$

   Следовательно, в точке $$x=-1$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

Ответ

а) максимум при $$x=1$$, минимум при $$x=15$$;
б) минимум при $$x=-\frac12$$;
в) максимум при $$x=-\frac35$$, минимум при $$x=\frac35$$;
г) максимум при $$x=2$$, минимум при $$x=\frac72$$;
д) минимум при $$x=3$$;
е) максимум при $$x=-1$$, минимум при $$x=1$$.