Упр.16.8 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Изобразите эскиз графика производной функции у=f(x), если известно, что функция у=f(x) возрастает на луче [3; +?) и убывает на луче (—?; 3]. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) y=(x-4)^4+3; г) y=(5-x)^4-1;
б) y=v(2x-3)+2; д) y=v(3x-1)-2;
в) y=x-2v(x-5); е) y=x-4v(x-3).

1. Эскиз графика производной по промежуткам возрастания и убывания функции

Если функция возрастает, то $$f'(x)\ge 0$$, а если убывает, то $$f'(x)\le 0$$.

1. а) $$f(x)$$ возрастает на $$(-\infty;\,-1]$$ и убывает на $$[-1;\,+\infty)$$.

   Значит, $$f'(x)\ge 0$$ при $$x<-1$$ и $$f'(x)\le 0$$ при $$x>-1$$, а в точке $$x=-1$$ производная равна нулю.

   Следовательно, график $$y=f'(x)$$ пересекает ось $$Ox$$ в точке $$(-1,0)$$ и меняет знак с «+» на «−».

2. б) $$f(x)$$ убывает на $$(-\infty;\,3]$$ и возрастает на $$[3;\,+\infty)$$.

   Значит, $$f'(x)\le 0$$ при $$x<3$$ и $$f'(x)\ge 0$$ при $$x>3$$, а в точке $$x=3$$ производная равна нулю.

   Следовательно, график $$y=f'(x)$$ пересекает ось $$Ox$$ в точке $$\left(3,0\right)$$ и меняет знак с «−» на «+».

2. Найдём точки экстремума и их характер

1. а) $$y=(x-4)^4+3$$

   $$y'(x)=4(x-4)^3$$

   $$y'(x)=0 \iff x=4$$

   При $$x<4$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>4$$ — $$y'(x)>0$$. Значит, в точке $$x=4$$ функция меняет убывание на возрастание, то есть имеет минимум.

   $$y_{\min}=y(4)=3$$

2. б) $$y=\sqrt{2x-3}+2$$

   Область определения: $$2x-3\ge 0$$, то есть $$x\ge \frac32$$.

   $$y'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-3}}=\frac{1}{\sqrt{2x-3}}$$

   На области определения $$y'(x)>0$$, поэтому функция возрастает на всей своей области определения и точек экстремума не имеет.

3. в) $$y=x-2\sqrt{x-5}$$

   Область определения: $$x\ge 5$$.

   $$y'(x)=1-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-5}}=1-\frac{1}{\sqrt{x-5}}$$

   Найдём критическую точку:

   $$1-\frac{1}{\sqrt{x-5}}=0 \iff \sqrt{x-5}=1 \iff x=6$$

   При $$5<x<6$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>6$$ — $$y'(x)>0$$. Значит, в точке $$x=6$$ функция имеет минимум.

   $$y_{\min}=y(6)=6-2\sqrt{1}=4$$

4. г) $$y=(5-x)^4-1$$

   $$y'(x)=4(5-x)^3\cdot(-1)=-4(5-x)^3$$

   $$y'(x)=0 \iff x=5$$

   При $$x<5$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>5$$ — $$y'(x)>0$$. Следовательно, в точке $$x=5$$ функция имеет минимум.

   $$y_{\min}=y(5)=-1$$

5. д) $$y=\sqrt{3x-1}-2$$

   Область определения: $$3x-1\ge 0$$, то есть $$x\ge \frac13$$.

   $$y'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$$

   На области определения $$y'(x)>0$$, значит функция возрастает на всей своей области определения и точек экстремума не имеет.

6. е) $$y=x-4\sqrt{x-3}$$

   Область определения: $$x\ge 3$$.

   $$y'(x)=1-4\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-3}}=1-\frac{2}{\sqrt{x-3}}$$

   Найдём критическую точку:

   $$1-\frac{2}{\sqrt{x-3}}=0 \iff \sqrt{x-3}=2 \iff x=7$$

   При $$3<x<7$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$x>7$$ — $$y'(x)>0$$. Значит, в точке $$x=7$$ функция имеет минимум.

   $$y_{\min}=y(7)=7-4\sqrt{4}=-1$$

Ответ

а) $$f'(x)\ge 0$$ при $$x<-1$$, $$f'(x)\le 0$$ при $$x>-1$$; точка $$(-1,0)$$.

б) $$f'(x)\le 0$$ при $$x<3$$, $$f'(x)\ge 0$$ при $$x>3$$; точка $$\left(3,0\right)$$.

а) минимум при $$x=4$$, $$y_{\min}=3$$;

б) точек экстремума нет;

в) минимум при $$x=6$$, $$y_{\min}=4$$;

г) минимум при $$x=5$$, $$y_{\min}=-1$$;

д) точек экстремума нет;

е) минимум при $$x=7$$, $$y_{\min}=-1$$.