Упр.16.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) [-3; -1]; в) [0; 2]; д) [3; 5];
б) [1; 3]; г) [-2; 0]; е) [-6; -3]. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) y=x-4/x+3; г) y=x-1/x-12;
б) y=2x+8/x-14; д) y=7/x+x/7+4;
в) y=(x^2+16)/x; е) y=(x^2+36)/x.

1. По графикам производных знак производной на указанных промежутках определяет монотонность функции:

   а) $$[-3;-1]$$: $$f(x)$$ возрастает, $$g(x)$$ возрастает, $$h(x)$$ убывает;

   б) $$[1;3]$$: $$f(x)$$ убывает, $$g(x)$$ возрастает, $$h(x)$$ возрастает;

   в) $$[0;2]$$: $$f(x)$$ убывает, $$g(x)$$ возрастает, $$h(x)$$ возрастает;

   г) $$[-2;0]$$: $$f(x)$$ возрастает, $$g(x)$$ возрастает, $$h(x)$$ убывает;

   д) $$[3;5]$$: $$f(x)$$ возрастает, $$g(x)$$ убывает, $$h(x)$$ убывает;

   е) $$[-6;-3]$$: $$f(x)$$ возрастает, $$g(x)$$ убывает, $$h(x)$$ возрастает.

2. Найдём точки экстремума по производной.

   а) $$y=x-\frac{4}{x}+3$$

   $$y'(x)=1+\frac{4}{x^2}$$

   $$1+\frac{4}{x^2}>0$$ при всех $$x\neq 0$$, значит, производная нигде не обращается в нуль.

   Точек экстремума нет.

   б) $$y=2x+\frac{8}{x}-14$$

   $$y'(x)=2-\frac{8}{x^2}$$

   $$2-\frac{8}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2=4 \;\Rightarrow\; x=\pm 2$$

   При $$|x|>2$$ имеем $$y'(x)>0$$, при $$0<|x|<2$$ имеем $$y'(x)<0$$.

   Следовательно, в точке $$x=-2$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.

   в) $$y=\frac{x^2+16}{x}=x+\frac{16}{x}$$

   $$y'(x)=1-\frac{16}{x^2}$$

   $$1-\frac{16}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2=16 \;\Rightarrow\; x=\pm 4$$

   При $$|x|>4$$ имеем $$y'(x)>0$$, при $$0<|x|<4$$ имеем $$y'(x)<0$$.

   Следовательно, в точке $$x=-4$$ — максимум, в точке $$x=4$$ — минимум.

   г) $$y=x-\frac{1}{x}-12$$

   $$y'(x)=1+\frac{1}{x^2}$$

   $$1+\frac{1}{x^2}>0$$ при всех $$x\neq 0$$, значит, производная нигде не обращается в нуль.

   Точек экстремума нет.

   д) $$y=\frac{7}{x}+\frac{x}{7}+4$$

   $$y'(x)=-\frac{7}{x^2}+\frac{1}{7}$$

   $$-\frac{7}{x^2}+\frac{1}{7}=0 \;\Rightarrow\; x^2=49 \;\Rightarrow\; x=\pm 7$$

   При $$|x|>7$$ имеем $$y'(x)>0$$, при $$0<|x|<7$$ имеем $$y'(x)<0$$.

   Следовательно, в точке $$x=-7$$ — максимум, в точке $$x=7$$ — минимум.

   е) $$y=\frac{x^2+36}{x}=x+\frac{36}{x}$$

   $$y'(x)=1-\frac{36}{x^2}$$

   $$1-\frac{36}{x^2}=0 \;\Rightarrow\; x^2=36 \;\Rightarrow\; x=\pm 6$$

   При $$|x|>6$$ имеем $$y'(x)>0$$, при $$0<|x|<6$$ имеем $$y'(x)<0$$.

   Следовательно, в точке $$x=-6$$ — максимум, в точке $$x=6$$ — минимум.

Ответ

По графикам производных:
а) $$f$$ — возрастает, $$g$$ — возрастает, $$h$$ — убывает;
б) $$f$$ — убывает, $$g$$ — возрастает, $$h$$ — возрастает;
в) $$f$$ — убывает, $$g$$ — возрастает, $$h$$ — возрастает;
г) $$f$$ — возрастает, $$g$$ — возрастает, $$h$$ — убывает;
д) $$f$$ — возрастает, $$g$$ — убывает, $$h$$ — убывает;
е) $$f$$ — возрастает, $$g$$ — убывает, $$h$$ — возрастает.

Точки экстремума:
а) нет;
б) максимум при $$x=-2$$, минимум при $$x=2$$;
в) максимум при $$x=-4$$, минимум при $$x=4$$;
г) нет;
д) максимум при $$x=-7$$, минимум при $$x=7$$;
е) максимум при $$x=-6$$, минимум при $$x=6$$.