Упр.16.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- На рисунке 70 изображён график производной функции $$y=f(x)$$. Укажите, на каком из данных промежутков функция $$y=f(x)$$ возрастает, а на каком убывает:
а) $$[-10; -8]$$ и $$[-2; 2]$$;
б) $$[0; 3]$$ и $$[8; 9]$$;
в) $$[-7; -4]$$ и $$[5; 6]$$;
г) $$[-3; 0]$$ и $$[9; 11]$$;
д) $$[-16; -12]$$ и $$[4; 7]$$;
е) $$[12; 15]$$ и $$[-1; 3]$$. - Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) $$y=3x^2-9x+4$$;
б) $$y=x^3+4x^2-3x$$;
в) $$y=x^4-8x^2+9$$;
г) $$y=7x-3x^2-2$$;
д) $$y=x^3+3x^2-24x$$;
е) $$y=2x^4-8x^2-11$$.
- Если задан график производной $$y=f'(x)$$, то функция $$y=f(x)$$:
- возрастает там, где $$f'(x)>0$$;
- убывает там, где $$f'(x)<0$$.
По графику получаем:
а) возрастает на $$[-10;-8]$$, убывает на $$[-2;2]$$;
б) возрастает на $$[8;9]$$, убывает на $$[0;3]$$;
в) возрастает на $$[-7;-4]$$, убывает на $$[5;6]$$;
г) возрастает на $$[9;11]$$, убывает на $$[-3;0]$$;
д) возрастает на $$[-16;-12]$$, убывает на $$[4;7]$$;
е) возрастает на $$[12;15]$$, убывает на $$[-1;3]$$. - Найдём точки экстремума по производной: критические точки — это решения уравнения $$y'(x)=0$$.
Знак производной определяет характер экстремума.а) $$y=3x^2-9x+4$$
$$y'(x)=6x-9$$
$$6x-9=0,\quad x=\frac{3}{2}$$Так как парабола ветвями вверх, в точке $$x=\frac{3}{2}$$ — минимум.
Ответ: $$x_{\min}=\frac{3}{2}$$.
б) $$y=x^3+4x^2-3x$$
$$y'(x)=3x^2+8x-3$$
$$3x^2+8x-3=0$$
$$D=8^2-4\cdot 3\cdot(-3)=100$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{6}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=\frac{1}{3}$$Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положительный, то $$y'(x)>0$$ вне корней и $$y'(x)<0$$ между ними.
Значит, в точке $$x=-3$$ — максимум, а в точке $$x=\frac{1}{3}$$ — минимум.Ответ: $$x_{\max}=-3,\; x_{\min}=\frac{1}{3}$$.
в) $$y=x^4-8x^2+9$$
$$y'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$
Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2$$.
По знакам производной:
$$y'(x)<0$$ на $$(-\infty,-2)$$ и $$(0,2)$$,
$$y'(x)>0$$ на $$(-2,0)$$ и $$(2,+\infty)$$.Следовательно, в точке $$x=-2$$ — минимум, в точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.
Ответ: $$x_{\min}=-2,\; x_{\max}=0,\; x_{\min}=2$$.
г) $$y=7x-3x^2-2$$
$$y'(x)=7-6x$$
$$7-6x=0,\quad x=\frac{7}{6}$$Парабола ветвями вниз, значит в точке $$x=\frac{7}{6}$$ — максимум.
Ответ: $$x_{\max}=\frac{7}{6}$$.
д) $$y=x^3+3x^2-24x$$
$$y'(x)=3x^2+6x-24=3(x^2+2x-8)=3(x+4)(x-2)$$
Критические точки: $$x=-4,\;2$$.
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то $$y'(x)>0$$ вне корней и $$y'(x)<0$$ между ними.
Значит, в точке $$x=-4$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.Ответ: $$x_{\max}=-4,\; x_{\min}=2$$.
е) $$y=2x^4-8x^2-11$$
$$y'(x)=8x^3-16x=8x(x^2-2)=8x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$$
Критические точки: $$x=-\sqrt{2},\;0,\;\sqrt{2}$$.
По знакам производной:
$$y'(x)<0$$ на $$(-\infty,-\sqrt{2})$$ и $$(0,\sqrt{2})$$,
$$y'(x)>0$$ на $$(-\sqrt{2},0)$$ и $$(\sqrt{2},+\infty)$$.Следовательно, в точке $$x=-\sqrt{2}$$ — минимум, в точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=\sqrt{2}$$ — минимум.
Ответ: $$x_{\min}=-\sqrt{2},\; x_{\max}=0,\; x_{\min}=\sqrt{2}$$.
Ответ
1) а) возрастает на $$[-10;-8]$$, убывает на $$[-2;2]$$; б) возрастает на $$[8;9]$$, убывает на $$[0;3]$$; в) возрастает на $$[-7;-4]$$, убывает на $$[5;6]$$; г) возрастает на $$[9;11]$$, убывает на $$[-3;0]$$; д) возрастает на $$[-16;-12]$$, убывает на $$[4;7]$$; е) возрастает на $$[12;15]$$, убывает на $$[-1;3]$$.
2) а) $$x_{\min}=\frac{3}{2}$$; б) $$x_{\max}=-3,\; x_{\min}=\frac{1}{3}$$; в) $$x_{\min}=-2,\; x_{\max}=0,\; x_{\min}=2$$; г) $$x_{\max}=\frac{7}{6}$$; д) $$x_{\max}=-4,\; x_{\min}=2$$; е) $$x_{\min}=-\sqrt{2},\; x_{\max}=0,\; x_{\min}=\sqrt{2}$$.
