Упр.16.6 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) [-10; -8| и [-2; 2]; г) [-3; О] и [9; 11];
б) [О; 3] и [8; 9]; д) [-16; -12] и [4; 7];
в) [-7; -4] и [5; 6]; е) [12; 15] и [-1;3]. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) y=3x^2-9x+4; г) y=7x-3x^2-2;
б) y=x^3+4x^2-3x; д) y=x^3+3x^2-24x;
в) y=x^4-8x^2+9; е) y=2x^4-8x^2-11.

1. Если задан график производной $$y=f'(x)$$, то функция $$y=f(x)$$:
   • возрастает там, где $$f'(x)>0$$;
   • убывает там, где $$f'(x)<0$$.

   По графику получаем:

   а) возрастает на $$[-10;-8]$$, убывает на $$[-2;2]$$;
   б) возрастает на $$[8;9]$$, убывает на $$[0;3]$$;
   в) возрастает на $$[-7;-4]$$, убывает на $$[5;6]$$;
   г) возрастает на $$[9;11]$$, убывает на $$[-3;0]$$;
   д) возрастает на $$[-16;-12]$$, убывает на $$[4;7]$$;
   е) возрастает на $$[12;15]$$, убывает на $$[-1;3]$$.

2. Найдём точки экстремума по производной: критические точки — это решения уравнения $$y'(x)=0$$.
   Знак производной определяет характер экстремума.

   а) $$y=3x^2-9x+4$$

   $$y'(x)=6x-9$$
   $$6x-9=0,\quad x=\frac{3}{2}$$

   Так как парабола ветвями вверх, в точке $$x=\frac{3}{2}$$ — минимум.

   Ответ: $$x_{\min}=\frac{3}{2}$$.

   б) $$y=x^3+4x^2-3x$$

   $$y'(x)=3x^2+8x-3$$
   $$3x^2+8x-3=0$$
   $$D=8^2-4\cdot 3\cdot(-3)=100$$
   $$x_{1,2}=\frac{-8\pm 10}{6}$$
   $$x_1=-3,\quad x_2=\frac{1}{3}$$

   Поскольку коэффициент при $$x^2$$ положительный, то $$y'(x)>0$$ вне корней и $$y'(x)<0$$ между ними.
   Значит, в точке $$x=-3$$ — максимум, а в точке $$x=\frac{1}{3}$$ — минимум.

   Ответ: $$x_{\max}=-3,\; x_{\min}=\frac{1}{3}$$.

   в) $$y=x^4-8x^2+9$$

   $$y'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$

   Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2$$.
   По знакам производной:
   $$y'(x)<0$$ на $$(-\infty,-2)$$ и $$ (0,2)$$,
   $$y'(x)>0$$ на $$(-2,0)$$ и $$ (2,+\infty)$$.

   Следовательно, в точке $$x=-2$$ — минимум, в точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.

   Ответ: $$x_{\min}=-2,\; x_{\max}=0,\; x_{\min}=2$$.

   г) $$y=7x-3x^2-2$$

   $$y'(x)=7-6x$$
   $$7-6x=0,\quad x=\frac{7}{6}$$

   Парабола ветвями вниз, значит в точке $$x=\frac{7}{6}$$ — максимум.

   Ответ: $$x_{\max}=\frac{7}{6}$$.

   д) $$y=x^3+3x^2-24x$$

   $$y'(x)=3x^2+6x-24=3(x^2+2x-8)=3(x+4)(x-2)$$

   Критические точки: $$x=-4,\;2$$.
   Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то $$y'(x)>0$$ вне корней и $$y'(x)<0$$ между ними.
   Значит, в точке $$x=-4$$ — максимум, в точке $$x=2$$ — минимум.

   Ответ: $$x_{\max}=-4,\; x_{\min}=2$$.

   е) $$y=2x^4-8x^2-11$$

   $$y'(x)=8x^3-16x=8x(x^2-2)=8x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$$

   Критические точки: $$x=-\sqrt{2},\;0,\;\sqrt{2}$$.
   По знакам производной:
   $$y'(x)<0$$ на $$(-\infty,-\sqrt{2})$$ и $$ (0,\sqrt{2})$$,
   $$y'(x)>0$$ на $$(-\sqrt{2},0)$$ и $$ (\sqrt{2},+\infty)$$.

   Следовательно, в точке $$x=-\sqrt{2}$$ — минимум, в точке $$x=0$$ — максимум, в точке $$x=\sqrt{2}$$ — минимум.

   Ответ: $$x_{\min}=-\sqrt{2},\; x_{\max}=0,\; x_{\min}=\sqrt{2}$$.

Ответ

1) а) возрастает на $$[-10;-8]$$, убывает на $$[-2;2]$$; б) возрастает на $$[8;9]$$, убывает на $$[0;3]$$; в) возрастает на $$[-7;-4]$$, убывает на $$[5;6]$$; г) возрастает на $$[9;11]$$, убывает на $$[-3;0]$$; д) возрастает на $$[-16;-12]$$, убывает на $$[4;7]$$; е) возрастает на $$[12;15]$$, убывает на $$[-1;3]$$.

2) а) $$x_{\min}=\frac{3}{2}$$; б) $$x_{\max}=-3,\; x_{\min}=\frac{1}{3}$$; в) $$x_{\min}=-2,\; x_{\max}=0,\; x_{\min}=2$$; г) $$x_{\max}=\frac{7}{6}$$; д) $$x_{\max}=-4,\; x_{\min}=2$$; е) $$x_{\min}=-\sqrt{2},\; x_{\max}=0,\; x_{\min}=\sqrt{2}$$.