Упр.16.5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) функция y=f(x) возрастает на [—6; —3];
б) функция y=f(x) убывает на [7; +?);
в) функция y=f(x) возрастает на [—2; 5];
г) функция y=f(x) убывает на [—10; —3];
д) функция y=f(x) возрастает на (-?; —8];
е) функция y=f(x) возрастает на (0; 6). Найдите среди данных высказываний истинные:
1) чётная функция может иметь только одну точку экстремума;
2) если нечётная функция имеет точку максимума, то она имеет и точку минимума;
3) периодическая функция имеет не более трёх точек экстремума;
4) нечётная функция может иметь две точки экстремума;
5) если чётная функция имеет точку минимума, то она имеет и точку максимума;
6) монотонная функция может иметь единственную точку экстремума.

Подробный ответ

По графику производной $$y=f'(x)$$ определяем промежутки возрастания и убывания функции $$y=f(x)$$:

если $$f'(x)>0$$, то функция возрастает;
если $$f'(x)<0$$, то функция убывает.

Из графика следует:

на $$[-6;-3]$$ производная положительна, значит, функция возрастает;
на $$[7;+\infty)$$ производная отрицательна, значит, функция убывает;
на $$[-2;5]$$ производная не всюду положительна, значит, функция не возрастает на всём промежутке;
на $$[-10;-3]$$ производная не всюду отрицательна, значит, функция не убывает на всём промежутке;
на $$(-\infty;-8]$$ функция не возрастает на всём промежутке;
на $$(0;6)$$ функция не возрастает на всём промежутке.

Теперь отметим истинные высказывания о функциях:

чётная функция может иметь только одну точку экстремума, если это точка $$x=0$$;
если нечётная функция имеет точку максимума $$x=a$$, то она имеет и точку минимума $$x=-a$$;
периодическая функция может иметь бесконечно много точек экстремума или не иметь их вовсе;
у нечётной функции может быть только две точки экстремума: $$x=a$$ и $$x=-a$$;
чётная функция может иметь только точки минимума, например $$y=x^2$$;
у монотонной функции не может быть ни одной точки экстремума.

Истинные высказывания: $$1, 2, 4, 5, 6$$.