Упр.16.36 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите все значения a, при которых уравнение log(2 — x; a — 3x + 6) = 2 имеет хотя бы один корень на промежутке [-2; 2).

а) Пусть

$$\log_{2+x}(2x+a+1)=2.$$

Тогда

$$2x+a+1=(2+x)^2=x^2+4x+4,$$

откуда

$$a=x^2+2x+3.$$

Область допустимых значений:

$$2+x>0,\quad 2+x\ne 1,$$

то есть

$$x>-2,\quad x\ne -1.$$

На промежутке $$(-2;1]$$ функция $$a=x^2+2x+3$$ имеет вершину при

$$x_0=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1.$$

Вычислим значения на концах и в вершине:

$$a(-2)=4-4+3=3,$$

$$a(-1)=1-2+3=2,$$

$$a(1)=1+2+3=6.$$

Так как парабола ветвями вверх, то на промежутке $$(-2;1]$$ получаем

$$a\in(2;6].$$

б) Пусть

$$\log_{2-x}(a-3x+6)=2.$$

Тогда

$$a-3x+6=(2-x)^2=x^2-4x+4,$$

откуда

$$a=x^2-x-2.$$

Область допустимых значений:

$$2-x>0,\quad 2-x\ne 1,$$

то есть

$$x<2,\quad x\ne 1.$$

На промежутке $$[-2;2)$$ функция $$a=x^2-x-2$$ имеет вершину при

$$x_0=-\frac{-1}{2\cdot 1}=\frac12.$$

Вычислим значения в характерных точках:

$$a(-2)=4+2-2=4,$$

$$a\left(\frac12\right)=\frac14-\frac12-2=-\frac94,$$

$$a(1)=1-1-2=-2,$$

$$a(2)=4-2-2=0.$$

Следовательно, на промежутке $$[-2;2)$$ получаем

$$a\in\left[-\frac94;-2\right)\cup(-2;4].$$

Ответ

а) $$a\in(2;6]$$;

б) $$a\in\left[-\frac94;-2\right)\cup(-2;4].$$