Упр.16.35 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите наименьшее значение функции y = log(3; 13 — 4x + x^2) + 1.

а) Рассмотрим функцию $$y=\log_2(1+2x-x^2)-3.$$

Область определения задаётся неравенством

$$1+2x-x^2>0.$$

Преобразуем выражение под логарифмом:

$$1+2x-x^2=2-(x-1)^2.$$

Так как основание логарифма $$2>1,$$ то функция $$\log_2 t$$ возрастает, значит наибольшее значение $$y$$ достигается при наибольшем значении выражения $$1+2x-x^2.$$

Парабола $$1+2x-x^2$$ ветвями вниз, её вершина при $$x=1,$$ и

$$1+2\cdot 1-1^2=2.$$

Тогда

$$y_{\max}=\log_2 2-3=1-3=-2.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\log_3(13-4x+x^2)+1.$$

Область определения:

$$13-4x+x^2>0.$$

Преобразуем выражение под логарифмом:

$$13-4x+x^2=(x-2)^2+9.$$

Так как основание логарифма $$3>1,$$ функция $$\log_3 t$$ возрастает, значит наименьшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении выражения $$13-4x+x^2.$$

Минимум квадратичной функции достигается при $$x=2,$$ и

$$13-4\cdot 2+2^2=9.$$

Тогда

$$y_{\min}=\log_3 9+1=2+1=3.$$

Ответ

а) $$-2$$; б) $$3$$.