Упр.16.34 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) 3·(1/3)^(2x)-13·(1/3)^x+4?0;
б) 3·25^x-8·15^x+5·9^x?0;
в) 4·(1/4)^(2x)-13·(1/4)^x+3?0;
г) 4·16^x-11·28^x+7·49^x?0.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=\left(\frac13\right)^x.$$ Тогда
$$3y^2-13y+4\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=13^2-4\cdot 3\cdot 4=121,$$
$$y_1=\frac{13-11}{6}=\frac13,\qquad y_2=\frac{13+11}{6}=4.$$
Тогда
$$\left(y-\frac13\right)(y-4)\le 0,$$
откуда
$$\frac13\le y\le 4.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$\left(\frac13\right)^x\ge \frac13 \;\Rightarrow\; x\le 1,$$
$$\left(\frac13\right)^x\le 4 \;\Rightarrow\; x\ge \log_{\frac13}4.$$
Следовательно,
$$x\in\left[\log_{\frac13}4;\,1\right].$$
б) Пусть $$y=\left(\frac53\right)^x.$$ Тогда
$$3y^2-8y+5\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=8^2-4\cdot 3\cdot 5=4,$$
$$y_1=\frac{8-2}{6}=1,\qquad y_2=\frac{8+2}{6}=\frac53.$$
Тогда
$$\left(y-1\right)\left(y-\frac53\right)\ge 0,$$
откуда
$$y\le 1 \quad \text{или} \quad y\ge \frac53.$$
Переходим к $$x$$:
$$\left(\frac53\right)^x\le 1 \;\Rightarrow\; x\le 0,$$
$$\left(\frac53\right)^x\ge \frac53 \;\Rightarrow\; x\ge 1.$$
Значит,
$$x\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty).$$
в) Пусть $$y=\left(\frac14\right)^x.$$ Тогда
$$4y^2-13y+3\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 3=121,$$
$$y_1=\frac{13-11}{8}=\frac14,\qquad y_2=\frac{13+11}{8}=3.$$
Тогда
$$\left(y-\frac14\right)(y-3)\ge 0,$$
откуда
$$y\le \frac14 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$
Переходим к $$x$$:
$$\left(\frac14\right)^x\le \frac14 \;\Rightarrow\; x\ge 1,$$
$$\left(\frac14\right)^x\ge 3 \;\Rightarrow\; x\le \log_{\frac14}3.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;\log_{\frac14}3]\cup[1;+\infty).$$
г) Пусть $$y=\left(\frac47\right)^x.$$ Тогда
$$4y^2-11y+7\le 0.$$
Найдём корни:
$$D=11^2-4\cdot 4\cdot 7=9,$$
$$y_1=\frac{11-3}{8}=1,\qquad y_2=\frac{11+3}{8}=\frac74.$$
Тогда
$$\left(y-1\right)\left(y-\frac74\right)\le 0,$$
откуда
$$1\le y\le \frac74.$$
Переходим к $$x$$:
$$\left(\frac47\right)^x\ge 1 \;\Rightarrow\; x\le 0,$$
$$\left(\frac47\right)^x\le \frac74 \;\Rightarrow\; x\ge -1.$$
Значит,
$$x\in[-1;0].$$