Упр.16.33 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) lg(x+v5)=-lg(x-v5);
б) log_2(x-6)+2log_2(v(x-7))=1;
в) (log_5(x))^2+5=12log_5(vx);
г) lg(x-v7)=-lg(x+v7);
д) log_5(5-x)+2log_5(v(9-x))=1;
е) 4log_3(vx)=(log_3(x))^2-3.

Подробный ответ

а) $$\lg(x+\sqrt5)=-\lg(x-\sqrt5)$$
$$\lg(x+\sqrt5)=\lg\frac1{x-\sqrt5}$$
$$x+\sqrt5=\frac1{x-\sqrt5}$$
$$\left(x+\sqrt5\right)\left(x-\sqrt5\right)=1$$
$$x^2-5=1$$
$$x^2=6,\quad x=\pm\sqrt6$$
С учётом ОДЗ: $$x-\sqrt5>0,\quad x>\sqrt5$$, подходит только $$x=\sqrt6$$.
б) $$\log_2(x-6)+2\log_2\sqrt{x-7}=1$$
$$\log_2(x-6)+\log_2(x-7)=1$$
$$\log_2\bigl((x-6)(x-7)\bigr)=\log_2 2$$
$$ (x-6)(x-7)=2 $$
$$x^2-13x+40=0$$
$$D=13^2-4\cdot 40=9$$
$$x_1=\frac{13-3}{2}=5,\quad x_2=\frac{13+3}{2}=8$$
По ОДЗ: $$x>7$$, значит подходит только $$x=8$$.
в) $$\left(\log_5 x\right)^2+5=12\log_5\sqrt{x}$$
$$\log_5\sqrt{x}=\frac12\log_5 x$$
Пусть $$y=\log_5 x$$. Тогда
$$y^2+5=6y$$
$$y^2-6y+5=0$$
$$D=6^2-4\cdot 5=16$$
$$y_1=\frac{6-4}{2}=1,\quad y_2=\frac{6+4}{2}=5$$
Тогда
$$\log_5 x=1 \Rightarrow x=5$$
$$\log_5 x=5 \Rightarrow x=3125$$
г) $$\lg(x-\sqrt7)=-\lg(x+\sqrt7)$$
$$\lg(x-\sqrt7)=\lg\frac1{x+\sqrt7}$$
$$x-\sqrt7=\frac1{x+\sqrt7}$$
$$\left(x-\sqrt7\right)\left(x+\sqrt7\right)=1$$
$$x^2-7=1$$
$$x^2=8,\quad x=\pm 2\sqrt2$$
По ОДЗ: $$x-\sqrt7>0,\quad x>\sqrt7$$, значит подходит только $$x=2\sqrt2$$.
д) $$\log_5(5-x)+2\log_5\sqrt{9-x}=1$$
$$\log_5(5-x)+\log_5(9-x)=1$$
$$\log_5\bigl((5-x)(9-x)\bigr)=\log_5 5$$
$$ (5-x)(9-x)=5 $$
$$x^2-14x+40=0$$
$$D=14^2-4\cdot 40=36$$
$$x_1=\frac{14-6}{2}=4,\quad x_2=\frac{14+6}{2}=10$$
По ОДЗ: $$x<5$$ и $$x<9$$, значит подходит только $$x=4$$.
е) $$4\log_3\sqrt{x}=\left(\log_3 x\right)^2-3$$
$$\log_3\sqrt{x}=\frac12\log_3 x$$
$$2\log_3 x=\left(\log_3 x\right)^2-3$$
Пусть $$y=\log_3 x$$. Тогда
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16$$
$$y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\quad y_2=\frac{2+4}{2}=3$$
Тогда
$$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=\frac13$$
$$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27$$