Упр.16.32 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) Постройте и прочитайте график функции y=f(x).
б) При каких значениях параметра р уравнение f(x)=р имеет три корня?

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} -\sqrt[3]{x+\pi}, & x\le -\pi,\\ \sin x, & -\pi<x<\pi,\\ \sqrt[3]{x-\pi}, & x\ge \pi. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$x\le -\pi$$: $$y=-\sqrt[3]{x+\pi}.$$
Это график функции $$y=\sqrt[3]{x}$$, сдвинутый влево на $$\pi$$ и отражённый относительно оси $$Ox$$.
Точка стыка: при $$x=-\pi$$ получаем $$y=0$$.

2) При $$-\pi<x<\pi$$: $$y=\sin x.$$
На этом промежутке строится обычный график синуса.

3) При $$x\ge \pi$$: $$y=\sqrt[3]{x-\pi}.$$
Это график $$y=\sqrt[3]{x}$$, сдвинутый вправо на $$\pi$$.
При $$x=\pi$$ получаем $$y=0$$.

Итак, график функции состоит из трёх частей, которые соединяются в точках $$(-\pi,0)$$ и $$(\pi,0)$$.

По графику получаем:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• функция возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\cup(\pi;+\infty)$$;
• убывает на $$(-\infty;-\pi)\cup\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$$;
• $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\pi;0)$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;-\pi)\cup(0;\pi)\cup(\pi;+\infty)$$;
• нули функции: $$x=-\pi,\;0,\;\pi$$.

Теперь найдём, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет три корня.

На каждом из трёх участков график даёт по одному решению, если прямая $$y=p$$ пересекает каждый из трёх фрагментов графика.

Для левого и правого кубических корней это происходит при любом $$p$$, а для среднего участка $$y=\sin x$$ на промежутке $$(-\pi;\pi)$$ нужно, чтобы прямая $$y=p$$ пересекала синус ровно один раз. Это возможно только при $$p=0$$ или $$p=1$$.

Тогда уравнение $$f(x)=p$$ имеет три корня.

Ответ

а) График состоит из трёх частей: $$y=-\sqrt[3]{x+\pi}$$ при $$x\le -\pi$$, $$y=\sin x$$ при $$-\pi<x<\pi$$, $$y=\sqrt[3]{x-\pi}$$ при $$x\ge \pi$$; нули функции: $$-\pi,\;0,\;\pi$$.
б) $$p=0$$ или $$p=1$$.