Упр.16.30 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

а) sin(3x)-4cos(x)-11x=x^7-4;
б) 6sin(x/3)+5cos(2x)+12x=5-x^5.

а) Рассмотрим функции

$$f(x)=x^7-4,$$

$$g(x)=\sin 3x-4\cos x-11x.$$

Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как степень $$7$$ нечётная.

Найдём производную функции $$g(x)$$:

$$g'(x)=3\cos 3x+4\sin x-11.$$

Так как $$3\cos 3x\le 3$$ и $$4\sin x\le 4,$$ то

$$g'(x)\le 3+4-11=-4<0.$$

Значит, $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

Следовательно, уравнение имеет не более одного решения.

Проверим $$x=0$$:

$$\sin 0-4\cos 0-11\cdot 0=0^7-4,$$

то есть

$$-4=-4.$$

Значит, $$x=0$$ — решение уравнения.

б) Рассмотрим функции

$$f(x)=5-x^5,$$

$$g(x)=6\sin \frac{x}{3}+5\cos 2x+12x.$$

Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, так как степень $$5$$ нечётная, а коэффициент при $$x^5$$ отрицательный.

Найдём производную функции $$g(x)$$:

$$g'(x)=2\cos \frac{x}{3}-10\sin 2x+12.$$

Оценим её снизу:

$$g'(x)\ge -2-10+12=0.$$

Значит, $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

Следовательно, уравнение имеет не более одного решения.

Проверим $$x=0$$:

$$6\sin 0+5\cos 0+12\cdot 0=5-0^5,$$

то есть

$$5=5.$$

Значит, $$x=0$$ — решение уравнения.

Ответ

а) $$0$$; б) $$0$$.