Упр.16.29 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а) $$x^5+x^3+7x-51=\sqrt[3]{37-5x}$$;
б) $$102-2x^5-4x^3-2x=\sqrt[4]{6+5x}$$.
а) Рассмотрим функции
$$f(x)=x^5+x^3+7x-51,$$
$$g(x)=\sqrt[3]{37-5x}.$$
Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как сумма возрастающих функций тоже возрастает. Функция $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, поскольку при увеличении $$x$$ выражение $$37-5x$$ уменьшается, а кубический корень сохраняет монотонность.
Значит, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=2$$:
$$f(2)=2^5+2^3+7\cdot 2-51=32+8+14-51=3,$$
$$g(2)=\sqrt[3]{37-5\cdot 2}=\sqrt[3]{27}=3.$$
Следовательно, $$x=2$$ — решение уравнения, и оно единственное.
б) Рассмотрим функции
$$f(x)=102-2x^5-4x^3-2x,$$
$$g(x)=\sqrt[4]{6+5x}.$$
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на своей области определения $$6+5x\ge 0$$.
Значит, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=2$$:
$$f(2)=102-2\cdot 2^5-4\cdot 2^3-2\cdot 2=102-64-32-4=2,$$
$$g(2)=\sqrt[4]{6+5\cdot 2}=\sqrt[4]{16}=2.$$
Следовательно, $$x=2$$ — единственное решение.
Ответ
а) $$2$$; б) $$2$$.
