Упр.16.28 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:

а) $$x^3+7=17-x$$;

г) $$15-2x^3=4x-9$$;

б) $$x^5+4x^3+5x-10=0$$;

д) $$x^5+6x^3+5x-12=0$$;

в) $$18-2x^5-6x^3-10x=0$$;

е) $$10-x^5-2x^3-7x=0$$.

1. а) $$x^3+7=17-x$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=x^3+7$$ и $$g(x)=17-x$$. Первая функция возрастает на $$\mathbb{R}$$, вторая убывает на $$\mathbb{R}$$, значит, уравнение имеет единственное решение.

   Проверим число $$x=2$$:

   $$2^3+7=8+7=15,$$

   $$17-2=15.$$

   Следовательно, $$x=2$$.

2. б) $$x^5+4x^3+5x-10=0$$

   Перепишем уравнение:

   $$x^5+4x^3=10-5x.$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=x^5+4x^3$$ и $$g(x)=10-5x$$. Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, значит, решение единственно.

   Проверим число $$x=1$$:

   $$1^5+4\cdot 1^3=1+4=5,$$

   $$10-5\cdot 1=5.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

3. в) $$18-2x^5-6x^3-10x=0$$

   Перепишем уравнение:

   $$18-10x=6x^3+2x^5.$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=18-10x$$ и $$g(x)=6x^3+2x^5$$. Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит, решение единственно.

   Проверим число $$x=1$$:

   $$18-10\cdot 1=8,$$

   $$6\cdot 1^3+2\cdot 1^5=6+2=8.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

4. г) $$15-2x^3=4x-9$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=15-2x^3$$ и $$g(x)=4x-9$$. Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит, решение единственно.

   Проверим число $$x=2$$:

   $$15-2\cdot 2^3=15-16=-1,$$

   $$4\cdot 2-9=8-9=-1.$$

   Следовательно, $$x=2$$.

5. д) $$x^5+6x^3+5x-12=0$$

   Перепишем уравнение:

   $$x^5+6x^3=12-5x.$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=x^5+6x^3$$ и $$g(x)=12-5x$$. Функция $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, значит, решение единственно.

   Проверим число $$x=1$$:

   $$1^5+6\cdot 1^3=1+6=7,$$

   $$12-5\cdot 1=7.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

6. е) $$10-x^5-2x^3-7x=0$$

   Перепишем уравнение:

   $$10-7x=x^5+2x^3.$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=10-7x$$ и $$g(x)=x^5+2x^3$$. Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит, решение единственно.

   Проверим число $$x=1$$:

   $$10-7\cdot 1=3,$$

   $$1^5+2\cdot 1^3=1+2=3.$$

   Следовательно, $$x=1$$.

Ответ

а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$2$$; д) $$1$$; е) $$1$$.