Упр.16.25 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$p$$ функция убывает на всей числовой прямой:
а) $$y=2px-x^3$$;
в) $$y=-px^3-(p+1)x$$;
б) $$y=-x^3-px^2-4x+8$$;
г) $$y=-x^3-2x^2-px+8$$?
а) $$y=2px-x^3$$
Чтобы функция убывала на всей числовой прямой, нужно, чтобы
$$y'(x)\le 0 \text{ при всех } x.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=2p-3x^2.$$
Так как $$3x^2\ge 0$$ при всех $$x$$, наибольшее значение производной достигается при $$x=0$$. Тогда
$$2p\le 0,$$
откуда
$$p\le 0.$$
б) $$y=-x^3-px^2-4x+8$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-3x^2-2px-4.$$
Функция убывает на всей прямой, если
$$-3x^2-2px-4\le 0 \text{ при всех } x.$$
Это равносильно тому, что квадратный трёхчлен
$$3x^2+2px+4\ge 0 \text{ при всех } x.$$
Для этого его дискриминант должен быть неположительным:
$$D=(2p)^2-4\cdot 3\cdot 4=4p^2-48\le 0.$$
$$p^2\le 12,$$
$$-2\sqrt3\le p\le 2\sqrt3.$$
в) $$y=-px^3-(p+1)x$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-3px^2-(p+1).$$
Чтобы функция убывала на всей прямой, нужно
$$-3px^2-(p+1)\le 0 \text{ при всех } x.$$
Если $$p<0$$, то при больших $$|x|$$ выражение $$-3px^2$$ становится положительным и неравенство нарушается. Значит, необходимо $$p\ge 0$$.
При $$p\ge 0$$ имеем $$-3px^2\le 0$$, поэтому достаточно, чтобы
$$-(p+1)\le 0,$$
что верно при $$p\ge -1$$. Совместно получаем
$$p\ge 0.$$
г) $$y=-x^3-2x^2-px+8$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-3x^2-4x-p.$$
Требуется, чтобы
$$-3x^2-4x-p\le 0 \text{ при всех } x,$$
то есть
$$3x^2+4x+p\ge 0 \text{ при всех } x.$$
Для этого дискриминант должен быть неположительным:
$$D=4^2-4\cdot 3\cdot p=16-12p\le 0.$$
$$12p\ge 16,$$
$$p\ge \frac{4}{3}.$$
Ответ
а) $$p\le 0$$; б) $$-2\sqrt3\le p\le 2\sqrt3$$; в) $$p\ge 0$$; г) $$p\ge \frac{4}{3}$$.
