Упр.16.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
При каких значениях параметра $$p$$ функция возрастает на всей числовой прямой:
а) $$y=x^3+px$$;
в) $$y=px^3+x$$;
б) $$y=x^3+x^2+px-8$$;
г) $$y=\frac{1}{3}x^3-px^2+9x-10$$?
а) $$y=x^3+px$$
Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, достаточно, чтобы её производная была неотрицательной при всех $$x$$:
$$y'(x)=3x^2+p\ge 0.$$
Так как $$3x^2\ge 0$$ при любых $$x$$, минимальное значение выражения $$3x^2+p$$ достигается при $$x=0$$. Значит,
$$p\ge 0.$$
б) $$y=x^3+x^2+px-8$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3x^2+2x+p.$$
Для возрастания на всей прямой нужно, чтобы
$$3x^2+2x+p\ge 0$$
при всех $$x$$. Это квадратный трёхчлен, и он неотрицателен при всех $$x$$ тогда и только тогда, когда его дискриминант не положителен:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot p\le 0,$$
$$4-12p\le 0,$$
$$p\ge \frac13.$$
в) $$y=px^3+x$$
Производная:
$$y'(x)=3px^2+1.$$
Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно
$$3px^2+1\ge 0$$
при всех $$x$$. Если $$p\ge 0$$, то $$3px^2\ge 0$$ и неравенство выполняется. Если $$p<0$$, то при больших $$|x|$$ выражение $$3px^2+1$$ становится отрицательным. Значит,
$$p\ge 0.$$
г) $$y=\frac13x^3-px^2+9x-10$$
Найдём производную:
$$y'(x)=x^2-2px+9.$$
Для возрастания на всей прямой требуется
$$x^2-2px+9\ge 0$$
при всех $$x$$. Дискриминант этого квадратного трёхчлена должен быть не положителен:
$$D=(-2p)^2-4\cdot 1\cdot 9\le 0,$$
$$4p^2-36\le 0,$$
$$p^2\le 9,$$
$$-3\le p\le 3.$$
Ответ
а) $$p\ge 0$$; б) $$p\ge \frac13$$; в) $$p\ge 0$$; г) $$-3\le p\le 3$$.
