Упр.16.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 11 класс, Просвещение: Докажите, что 2arctg(x/2) + arcsin(4x / (4 + x^2)) = ? для всех x ? [2; +?).

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=2\arctg\frac{x}{2}+\arcsin\frac{4x}{4+x^2}, \qquad x\in[2;+\infty).$$

Найдём её значение при $$x=2$$:

$$y(2)=2\arctg 1+\arcsin 1=2\cdot\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\pi.$$

Докажем, что $$y$$ — постоянная функция. Для этого найдём производную:

$$ y’ = 2\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}\cdot \frac12 + \frac{\left(\frac{4x}{4+x^2}\right)’}{\sqrt{1-\left(\frac{4x}{4+x^2}\right)^2}}. $$

Вычислим производную второй части:

$$ \left(\frac{4x}{4+x^2}\right)’= \frac{4(4+x^2)-4x\cdot 2x}{(4+x^2)^2} =\frac{16-4x^2}{(4+x^2)^2}. $$

Тогда

$$ y’=\frac{4}{4+x^2}+\frac{16-4x^2}{(4+x^2)^2\sqrt{1-\frac{16x^2}{(4+x^2)^2}}}. $$

Упростим корень:

$$ 1-\frac{16x^2}{(4+x^2)^2} =\frac{(4+x^2)^2-16x^2}{(4+x^2)^2} =\frac{(x^2-4)^2}{(4+x^2)^2}. $$

Так как $$x\ge 2$$, то $$x^2-4\ge 0$$, значит

$$ \sqrt{1-\frac{16x^2}{(4+x^2)^2}}=\frac{x^2-4}{4+x^2}. $$

Подставим это в производную:

$$ y’=\frac{4}{4+x^2}+\frac{16-4x^2}{(4+x^2)^2}\cdot \frac{4+x^2}{x^2-4} =\frac{4}{4+x^2}+\frac{16-4x^2}{(4+x^2)(x^2-4)}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ y’=\frac{4(x^2-4)+16-4x^2}{(4+x^2)(x^2-4)}=0. $$