Упр.16.23 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Докажите, что $$2\operatorname{arctg}\frac{x}{2}+\arcsin\frac{4x}{4+x^2}=?$$ для всех $$x ? [2;+\infty?)$$.

Рассмотрим функцию

$$y=2\arctg\frac{x}{2}+\arcsin\frac{4x}{4+x^2}, \qquad x\in[2;+\infty).$$

Найдём её значение при $$x=2$$:

$$y(2)=2\arctg 1+\arcsin 1=2\cdot\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\pi.$$

Докажем, что $$y$$ — постоянная функция. Для этого найдём производную:

$$y’ = 2\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}\cdot \frac12 + \frac{\left(\frac{4x}{4+x^2}\right)’}{\sqrt{1-\left(\frac{4x}{4+x^2}\right)^2}}.$$

Вычислим производную второй части:

$$\left(\frac{4x}{4+x^2}\right)’= \frac{4(4+x^2)-4x\cdot 2x}{(4+x^2)^2} =\frac{16-4x^2}{(4+x^2)^2}.$$

Тогда

$$y’=\frac{4}{4+x^2}+\frac{16-4x^2}{(4+x^2)^2\sqrt{1-\frac{16x^2}{(4+x^2)^2}}}.$$

Упростим корень:

$$1-\frac{16x^2}{(4+x^2)^2} =\frac{(4+x^2)^2-16x^2}{(4+x^2)^2} =\frac{(x^2-4)^2}{(4+x^2)^2}.$$

Так как $$x\ge 2$$, то $$x^2-4\ge 0$$, значит

$$\sqrt{1-\frac{16x^2}{(4+x^2)^2}}=\frac{x^2-4}{4+x^2}.$$

Подставим это в производную:

$$y’=\frac{4}{4+x^2}+\frac{16-4x^2}{(4+x^2)^2}\cdot \frac{4+x^2}{x^2-4} =\frac{4}{4+x^2}+\frac{16-4x^2}{(4+x^2)(x^2-4)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y’=\frac{4(x^2-4)+16-4x^2}{(4+x^2)(x^2-4)}=0.$$

Следовательно, функция постоянна на $$[2;+\infty)$$. Так как $$y(2)=\pi$$, то для всех $$x\in[2;+\infty)$$

$$2\arctg\frac{x}{2}+\arcsin\frac{4x}{4+x^2}=\pi.$$

Ответ

$$\pi$$